Olá Felipe,
usando fracoes parciais, temos:
i/[(i+1)(i+2)(i+3)] == A/(i+1) + B/(i+2) + C/(i+3)
resolvendo, temos:
A = -1/2
B = 2
C = -3/2
logo: Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * Sum 1/(i+1) + 2 * Sum 1/(i+2) -
3/2 * Sum 1/(i+3)
onde todos os somatorios vao de 1 até N
veja que Sum[i=1->N] 1/(i+1) = Sum[i=0->N-1] 1/(i+2) = 1/2 - 1/(N+2) +
Sum[i=1->N] 1/(i+2)
e que Sum[i=1->N] 1/(i+3) = Sum[i=2->N+1] 1/(i+2) = 1/(N+3) - 1/3 +
Sum[i=1->N] 1/(i+2)
deste modo:
Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * [1/2 - 1/(N+2) + Sum 1/(i+2) ] + 2 *
Sum 1/(i+2) - 3/2 * [ 1/(N+3) - 1/3 + Sum 1/(i+2) ]
opaa.. o somatorio cortou! ficando:
-1/2 * [1/2 - 1/(N+2)] - 3/2 * [1/(N+3) - 1/3]
basta terminar as contas agora!
abracos,
Salhab
On 5/5/07, Felipe Régis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal,
Alguém poderia me ajudar a demonstrar que,
S(n) = Sum[i=1->n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que
pudesse me ajudar:
S(0)=0
S(1)=1/24
S(2)= 3/40
S(3)=1/10
...
S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Obrigado!
Felipe Régis e Silva
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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