On 5/10/07, Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.) igualdade em x=y=z
Por que você considera x=y=z ??? S = 3x
x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. > > Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de > Lagrange > > Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos > > 1 - L y^2 z^3 =0 > 1 - 2L xy z^3 =0 > 1 - 3L x y^2 z^2 =0 > x.y^2.z^3 - 864 = 0 > > Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem > > 1 - 2 x/y = 0 => y = 2x > > 1 - 3x/z = 0 => z = 3x > > Substituindo na ultima, vem entao > > x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2 > raiz(2), z = 3 raiz(2) > > Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos > sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, > atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a > solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao > encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da > restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra > solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado > Lagrangeano). Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao > objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global > sem entrarmos na matriz Hessiana. > > Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao > sem usar o calculo, talvez ateh mais facil > > Artur > > > > > l > > > > > [Artur Costa Steiner] > sagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > Bruno Carvalho > Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo > > > > Peço ajuda na resolução do seguinte problema. > > Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo > valor possível para x+y+z ? > > Opções: > a)6 raiz de 2 > b)4raiz de três > c)9 > d)6raiz de três. > > Desde já agradeço a ajuda. > > Bruno > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > > -- ----------------------------- RAFAEL ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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