Oi.
Quando vc diz que quer saber se a área da função de Dirichlet é calculável,
vc por acaso pergunta se a função D é integrável?
Se é isso, vamos com calma. Relembre a definição da integral de Riemann:
lim(|P| --> 0) sum f(x'_i)*delta(x_i), onde P é uma partição do intervalo no
qual vc quer integrar a função (P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}) e x'_i é
um valor entre x_(i-1) e x_i e delta(x_i) = x_i - x_(i-1) é o comprimento de
cada intervalo.
Se existe o limite independentemente da escolha dos pontos x'_i, dizemos que
a função f é integravel em (a,b) e sua integral de Riemann vale esse limite.
Vamos verificar que para qualquer intervalo (a,b), não existe esse limite
(isto é: ele depende dos x'_i).
É muito simples. Sabemos que dados x,y reais, x<y, existe pelo menos um
racional e um irracional entre eles.
Faça o limite tomando os x'_i todos racionais. Dá 0. Agora faça o limite
tomando todos os x'_i irracionais, e vc tem o resultado b-a para o limite da
soma. Logo o limite depende dos x'_i, e portanto dizemos que f não é
Riemann-integrável.
POR OUTRO LADO, seria interessante se pudessemos integrar essa função.
Usando a Integral de Lebesgue, por exemplo, ela é integrável. A definição da
integral de Lebesgue para funções simples é a seguinte:
(função simples é aquela que o conjunto imagem tem um número finito de
pontos... que é o caso de D(x): ela possui apenas o 0 e o 1 na imagem)
Sejam a_i os pontos distintos da imagem de f. Seja A_i = {x | f(x) = a_i},
isto é, A_i é a pré-imagem de a_i (A_i = f^-1(a_i). A integral de lebesgue
de f no conjunto E é:
soma medida(A_i inter E)*a_i
Onde medida(C) é uma função que associa, a cada conjunto C de pontos do
dominio, um tamanho. Há 3 regras que essa associação de conjuntos a tamanhos
precisa seguir para que possa se chamar "medida". E há diversas medidas
diferentes possíveis.
Uma delas é a medida de Lebesgue. A definição dela é complicada pra eu botar
aqui. Mas intuitivamente ela é o "comprimento do intervalo" (para
intervalos, medida([a,b]) = b-a). Acontece que MUUUUUUUUUUUUUUITOS conjuntos
são mensuráveis. O conjunto só dos racionais, por exemplo, é mensurável.
Pela medida de Lebesgue, qq conjunto Enumerável tem medida 0. (e como Q é
mensurável, tem medida 0... se vc nao tem esses conceitos, procure em qq
livro de análise)
Resumo da ópera: D(x) é Lebesgue-integrável pois cada A_i é mensurável e a
integral vale:
medida(Q)*1 + medida(R-Q)*0 = 0
Pois, como já enunciei, medida(Q) = 0 (e embora medida(R-Q) = +oo, usa-se a
convenção de que 0 * oo = 0 nesta teoria). Assim a "área sobre a função de
Dirichlet" não existe do ponto de vista de Riemann, e vale 0 do pto de vista
de Lebesgue.
Quanto à função x^x:
concorda que ela é contínua? Um teorema diz que toda função contínua num
intervalo fechado é riemann-integrável (qq livro de cálculo tem isso).
Assim, f é Riemann-integrável.
E será lebesgue-integrável?
Outro teorema diz que toda função Riemann-integrável é lebesgue-integrável,
e as duas integrais tem o mesmo valor! (note que não falo de integrais
impróprias!)
Assim x^x é integrável.
O que vc quer dizer com "como é o processo"? Vc quer saber que regrinha
aplicamos pra achar uma primitiva de x^x? Olha, nao sei... e sinceramente
acho que não dá pra expressar a primitiva de x^x em termos de funções
elementares. Eu tentaria expandir isso aí numa série e ver no que dava.
(obs: minha HP não sabe calcular a primitiva disso... mas às vezes ela nao
calcula umas bobas).
Até!
Bruno
ps: consulte livros de cálculo e análise... todos os teoremas e definições
que listei aqui tem em qq livro de cálculo (a parte de Riemann) e em qq
livro de análise (a parte de Lebesgue). Há algum tempo circulou na lista
diversas sugestões de livros para estudo de Integral de Lebesgue; vale a
pena vc procurar nos arquivos da lista!
Em 21/05/07, Igor Battazza <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Gostaria de saber se a área da função de Dirichlet definida por:
{ x = 1, se x é racional
D(x) = {
{ x = 0, se x é irracional
Que equivale a D(x) = lim[lim(cos^2n(m!*%pi*x), n->%inf), m->%inf] é
calculavel;
E se a função f(x) = x^x é integravel e como é o processo.
Desde já agradeço,
Igor F. Carboni Battazza.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
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e^(pi*i)+1=0
