Eu já postei isso aqui , mas não obtive resposta. O problema eh o seguinte:
Seja (X, M u) um espaco de medidas, X um conjunto, M uma sigma-algebra definida
em X e u uma medida definida em M. Seja f_n uma sequencia de funcoes em L+
(pela notacao usual, uma sequencia de funcoes mensuraveis definidas em X e com
valores em [0, oo]) tal que lim f_n = f. Se lim Integral f_n du = Integral f du
< oo, entao, para todo E de M, temos que lim Int_E f_n du = Int_E f du.
(Conforme a convencao usual, quando o conjunto de integracao nao eh
explicitado, subentende-se integral sobre to do o espaco X.)
A prova deste teorema eh imediata se adicionarmos a hipotese de que a
convergencia eh dominada por uma funcao integravel em X. Mas o interessante eh
que ele eh valido mesmo sem esta hipotese. Jah consegui provar isso, eh
interessante. Entretanto, nao mais podemos garantir sua validade se lim
Integral f_n du = Integral f du = oo, a finitude eh essencial. Aih e que esta
minha duvida, nao consegui achar um exemplo, isto eh. Um espaco (X, M , u), uma
sequencia de funcoes em L+ tal que lim Integral f_n du = Integral f du = oo e
um membro E de M para o qual nao tenhamos que lim Int_E f_n du = Int_E f du. Ou
porque o limite do primeiro membro nao existe, ou porque existe mas eh maior do
que o segundo membro (menor nunca pode ser, pelo Lema de Fatous).
Espero que alguem possa colaborar. Eh ate posivel que haja um exemplo bem
simples.
Obrigado
Artur
