Prezado Kléber, Esta conclusao eh consequencia de um teorema de carater geral que diz o seguinte: Sejam X e Y espacos topologicos, Y de Hausdorff, e sejam f,g:X-> Y funcoes continuas. Se existir um conjunto D, denso em X, talque f(x) = g(x) para todo x de D, entao f = g; Particularizando para o nosso caso. Veja que I inter Q eh denso em I. Para provar isto diretamente, uma forma facil eh considerarmos o fato deque os reais sao um espaco metrico. Uma sugestao. Tome um x qualquer em I. Como I inter Q eh denso em I, existe uma sequencia x_n de racionais em I que converge para x. O que de interessante tem as sequencias f(x_n) e g(x_n)? Dado que f e g sao continuas, que outra conclusao interssante podemos tirar sobre esta sequencias? Outra forma de mostrar. Para x em I, assuma que f(x) <> g(x). Tome vizinhancas disjuntas Vf e Vg de f(x) e de g(x), respectivamente. As continuidades de f e de g implicam a existencia de vizinhancas U1 e U2 de x com uma caracteristica interessante. U1 Inter U2 tambem eh vizinhanca de x e contem racionais de I. Nao dah algo estranho? Abracos Artur
-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: segunda-feira, 2 de julho de 2007 14:07 Para: [email protected] Assunto: [obm-l] continuidade em intervalo tropecei em mais essa : Seja I Contida em R um intervalo, f,g: I->R funções contínuas, f(x)=g(x) ( para todo x pertencente I interseção Q ). Provar que , f=g .
