Olá Klaus,
Na demonstração do Teorema que você cita, esse n_0 foi tomado
como a cardinalidade do menor conjunto para o qual este Teorema
é falso.
Em outras palavras: Suponha, por exemplo, que conjuntos com
1 e 2 elementos não admitem bijeções sobre subconjuntos próprios
deles, mas existem conjuntos com 3 e conjuntos com 4 elementos
que admitem uma bijeção sobre seus subconjuntos próprios.
Então o seu n_0 seria 3, porque foi tomado como o menor possível.
No entanto, quando você elimina o elemento 'a' de A, e elimina
'f(a)' = 'n_0' de I_{n_0}, você ganha ainda uma bijeção, que agora
aplica A-{a} em I_{n_0 - 1}. Note que A-{a} ainda é subconjunto
próprio de I_{n_0 - 1}.
Mas aí está a contradição; você conseguiu uma bijeção de
um subconjunto próprio de I_{n_0 - 1} em I_{n_0 - 1}.
Ora, n_0 - 1 é menor do que n_0.. mas você não tinha tomado
n_0 como o menor onde isso pudesse acontecer?
Conclui-se assim que tal bijeção não pode existir.
- Leandro.
