Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente. Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n --> oo) [f(1) + f(2)....+ f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a integral existe em qualquer intervalo compacto.
Suponhamos agora que, para cada x >= 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x > 0 e constante em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g estah bem definida. Se x<>1, g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] e , se x=1 g(1) = lim (n --> oo) [1/1 + 1/2 .....1/nx - ln(n)] , que é a famosa constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5 Se x >1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - 1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2 Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui. Tentei representar a derivada como um limite de funcoes, o que nao eh dificil se definirmos g_n(x) = [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] e g'_n(x) = [ -2^(-x)ln(2)........ -n^(-)x ln(n) - d/dx(n^(1 - x) - 1)/(1 - x)] Esta sequencia de funcoes de fato converge, basta usar o mesmo argumento do inicio desta postagem. Mas a derivada acima resulta em uma expressao complicada e noa consegui provar que a convergencia eh uniforme, nem mesmo em intervalos compactos (tentei usar os teoremas d Dini e de Polya, ams acho que nao se aplicam) Mas acho que esta funcao g eh derivavel e decrescente em [0, oo) e tendo para um limite no infinito. Como podemos provar isso? Ate agora noa consegui. Obrigado por qualquer ajuda Artur
