Oi, Renan,
(ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse geral)
Você está certo. Na verdade você provou apenas que f(A inter B) <=
f(A) inter f(B) (está contido)
Eis o que você escreveu:
{f(x): x pertence (A inter B)} <-> {f(x): x pertence A e x pertence B}.
Aqui, você está no contexto do "se e somente se". Está
perfeito. Mas quando você coloca "se x pertence a A, etc"
você não está mais no "se e somente se"...
Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):
Quero provar que f(A inter B) <= f(A) inter f(B). Então provemos que:
a) f(A inter B) <= f(A) inter f(B)
b) f(A) inter f(B) <= f(A inter B)
Para provar a) vejamos (foi o que você fez):
Seja y em f(A inter B); então há x em (A inter B) tal que f(x) = y
Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que x está em A e x está em B;
Logo, y = f(x) está em f(A) e y = f(x) está em f(B); logo este
mesmo y está em na interseção, ou seja, f(A) inter f(B). Isto você
provou, como está escrito abaixo (mas acho que começando um pouco
pelo meio, pois se você quer provar que M <= N forçosamente comece
assim: seja z em M.... até chegar a z em N; e você começou assumindo
um x em A, que não está diretamente ligado ao que você quer provar -
deu para entender?):
se x pertence a A, f(x) pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x)
pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter
f(B) tal y está em f(A inter B), pois, veja (item b) :
Seja y em f(A) inter f(B); logo, y está em f(A) e em f(B) (pois
está na interseção dos conjuntos, logo está em cada um deles); mas
se y está em f(A) há algum sujeito em A, chamemo-lo de x1 tal
que f(x1) = y; e se y está em f(B) há algum cara em B (chamemo-lo
de x2) tal que f(x2) = y. Então você tem um cara x1 em A e um
cara x2 em B e pronto (e mais nada). Mas se x1 e x2 forem o mesmo
cara, então de fato você teria um x=x1=x2 em A inter B e então
haveria um x em A inter B tal que f(x) = y ou seja, tal y estaria
(como desejamos) em f(A inter B).
E é fácil ver que se f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais e
isto fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para
justificar a igualdade dos conjuntos).
Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando
fui aluno do Prof. Barbosa no IME (ih.... em 1969 e 70) e ele nos
enlouquecia com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época
achavam um saco. Ledo engano. Foram estes exercícios que
certamente nos deram a clareza que hoje minha "tchurma" tem no que
poderíamos chamar de "prática de lógica e de teoria dos conjuntos básicos").
Abração
Nehab
PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?
At 21:31 23/8/2007, you wrote:
Olá a todos!
Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).
Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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