Obrigado pela solucao e pela licao, Mestre Nehab, tambem era absolutamente previsivel a sua participacao. Ironicamente, eu esparava de voce uma solucao trigonometrica e do Ponce a puramente geometrica. Isso prova que os verdadeiros mestres, apesar de terem suas predilecoes, sabem caminhar em qualquer terreno.
Um abraco, Palmerim Em 12/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Oi, Palmerim, > > Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar > comigo. Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução > geométrica. > > A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas > clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade: > 1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde A = 20; traçam-se por B e C > cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, > E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB; > 2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100. marca-se D no > prolongamento de AB de tal forma que AD = BC. Pergunta-se o angulo BCD. > > O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a > geometria do polígonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 > lados) e suas diagonais. > > Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo > Nicolau) cujo capítuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas > clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capítulo é simples. > > Copie este link e baixe o pdf: > http://www.google.com.br/url?sa=t&ct=res&cd=2&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdf&ei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcG&usg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Q&sig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g > > <http://www.google.com.br/url?sa=t&ct=res&cd=2&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F%7Ehjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdf&ei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcG&usg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Q&sig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g>Bem, > agora vamos à solução do problema que você propôs: > > *Lema *(que está demonstrado no texto mencionado): > Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que > passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu círculo circunscrito. > > Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que: > a) B é o centro do octadecágono e BC o raio; > b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de > interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC; > > Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo > inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus. > > Abraços, > Nehab > > PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo > problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ... que ela > desenvolve de uma forma muito elegante e interessante. Para os > interessados neste problema, especialmente, veja o link > http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml do maravilho site > www.cut-the-knot.com. Nenhum amante da geometria pode desconhecer este > site... > > At 10:20 12/9/2007, you wrote: > > Maravilha!!! > > Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, > mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao "puramente > geometrica", agradeço. > > Abracos, > Palmerim > > Em 12/09/07, *Rogerio Ponce* < [EMAIL PROTECTED] > > > escreveu: > Ola' Palmerim e colegas da lista, > vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... > > Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada > lado de ABC. > Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o > prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. > > Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 > graus. > Assim, > tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF > > Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: > EF=cos10 > FB=sin10 > > Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que > DC= sin20 / sin100 > > Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos > tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 > > Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, > vem: > tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 > > Entao, lembrando da velha formuleta > (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , > > finalmente podemos escrever: > tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 > > Que nos da' x=30 graus. > > []'s > Rogerio Ponce > > Palmerim Soares < [EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola pessoal > > Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da > lista. Poderiam dar uma solucao "puramente geometrica" (a moda agora e > essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. > Figura no link abaixo: > http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg > > Obrigado, > > Palmerim > > > > Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais > <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/>. > >
