Olá Aline. Acho que neste caso o problema está mais na definição do que
sejam "sólidos semelhantes".
Eu usaria coordenadas polares para fazer essa
definição.
Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela
aplicação de uma
homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante.
Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por
r, theta e phi, a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3
que
levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de
semelhança.
O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi.
V = int int int r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)
V' = int int int n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)
note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não
são afetados pela transformação de escala. Agora se vc escrever em
coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será
z(theta,phi) = r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)
e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será:
z(theta,phi) = n r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)
diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema. Vc
vai achar
dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx. O volume do sólido em
coordenadas
cartesianas será
V = int int int f(x,y,z) dxdydz
e do sólido transformado será:
V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz
Vc chegará a conclusão que V' = n^3 V. A esfera e o cubo são casos
particulares deste caso geral.
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Tem um outro problema:
Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que
possui a menor superfície.
Esse eu ainda não consegui fazer.
Parece bem difícil.
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Agora só para descontrair:
O que é um urso polar?
Resposta: É um urso cartesiano após a troca de coordenadas (muito boa!)
Abraços
Ronaldo.
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ALINE Marconcin wrote:
>
>
> Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria
> muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez...
>
> Mostrar que:
>
> 1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao
> cubo da razão de semelhança.
>
> 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes.
>
> Desde de já muito obrigada.
>
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