Descobri esse pequeno teorema e quero compartilhar com o pessoal da lista, lá vai ele
vou provar aqui um pequeno teorema que descobri esse dias que fala de numeros tem como corolario a correlação entre números de stirling e potencias fatoriais o somatório de f(k), com k variando de k=0 até k=n, eu vou escrever como soma[k=0,n]f(k). seja um operador T qualquer com as seguintes propriedades Tsoma[k=0,n](ck)f(k,x)=soma[k=0,n](ck)Tf(k,x) isto é, comuta com somatório (ck são números) e T[T^(n)g(x)=T^(n+1)g(x). com T^(0)g(x)=g(x), para qualquer n natural. e, seja uma função de duas variáveis g(k,x), definida pelo menos para k inteiro não negativo. tal que g(x)=g(0,x) e Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x) agora definição para números de stirling são numeros que satisfazem a recorrencia [n,k]=k[n-1,k] + [n-1,k-1] se n>k e k>1 [n,n]=1 para qualquer n natural [n,1]=1 para qualquer n natural e [n+1,0]=0 para qualquer n natural temos então o teorema T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x). demonstração por indução sobre n para n=0 temos T^(0)[g(x)]=g(x)=soma[k=0,0].[0,k].g(k,x)=[0,0]g(0,x)=g(x) pelas definições do operador e da função g(k,x) e números de stirling hipotese da indução T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x). vamos demonstrar agora para (n+1) T^(n+1)[g(x)]=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x). partindo da hipotese e aplicando o operador T nela T[T^(n)][g(x)]=T^(n+1)[g(x)]=Tsoma[k=0,n][n,k]g(k,x) =soma[k=0,n][n,k]Tg(k,x) pela definição do operador e suas propriedades, agora aplicando a definição do operador na função g(k,x) temos =soma[k=0,n][n,k][kg(k,x)+g(k+1,x)]= usando a linearidade do somatorio ficamos com =soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)= continua ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
