Faça-se um triângulo escaleno de papel. Cole-o sobre uma mesa, esse é o triângulo ABC (base do tetraedro). Na realidade, não estou fazendo isso, é só uma descrição lingüística na tentativa de retratar a realidade que parece auxiliar. Coloque-se uma haste de madeira perpendicular à mesa por O: ortocentro de ABC.

            Bem, agora, sejam imaginadas três esferas, cada uma delas tem como diâmetro os lados: AB, BC e AC. Quaisquer pontos dessas esferas, se ligados a A, B e C, formarão com eles triângulos retângulos. Digamos que essas esferas se podem interpenetrar sem que qualquer delas se altere.

            Legal, a haste de madeira vai furar essas três esferas em um único ponto!? Provar isso, e daí avançar, parece ser crucial à resolução do problema. Mas como provar isso? Como daí avançar até o fim do problema? Qual é mesmo o fim do problema? Ah é! Esse mesmo (conjectura) se provarmos que a haste intercepta as esferas em um único, então, acabou.

            Por exemplo, a esfera com diâmetro AB tem raio c/2. Seja M o médio de AB. Formar-se-á o triângulo SMO (retângulo em O). S é o ponto em que a haste fura essa esfera. SO é a raiz quadrada da diferença entre os quadrados de c/2 e OM.  Alguma literatura deve mostrar a distância de O à metade de cada lado de um triângulo em função de a,b,c, quer dizer, pelo menos espero (sorriso). Já que eu não sei essas fórmulas, nem como a elas chegar facilmente, se é que são necessárias, pois, o fato é que se provarmos que: a raiz quadrada da diferença dos quadrados de c/2 e OM é igual à raiz quadrada da diferença de quadrados de b/2 e ON (N médio de AC), então, acabará a questão.

***

            Uma outra idéia: desenhe o triângulo ABC com seu ortocentro O e os segmentos de O a cada um desses vértices. Supunha possível, com o indicador e o polegar de qualquer das mãos, subir e abaixar o ponto O para fora do plano da mesa. Os ângulos da face do tetraedro (a se formar) serão sempre menores que os ângulos AOB, BOC e AOC. Porém, e justamente por isso, há alguma relação entre o quanto se afasta O da mesa (para virar S) e o quanto se reduzem os ângulos AOB, BOC e AOC para virarem ASB, BSC e ASC, mas paremos no ponto em que eles serão retângulos. A questão é provar que para uma mesma altura de afastamento de S da mesa, todos esses três últimos ângulos serão, justamente, retos. É outra idéia. Alguém me ajuda daqui à frente, por obséquio, e também, se houver erro para trás, retifiquem-no.

 

            Hoje é um novo dia, e pela idéia acima, pode-se também presumir que o tetraedro com o vértice assemelhado ao canto de um cubo existirá somente se os ângulos AOB, AOC, BOC forem maiores que 90º.

            Puxemos separadamente o triângulo AOB (por O) para se transformar em ASB reto. Assim c^2 = AS^2 + BS^2 = AO^2 + OS^2 + OS^2 + OB^2. Ou seja, 2OS^2 = c^2 – AO^2 – OB^2. Ora, do mesmo modo podemos elevar o AOC para se transformar em AS´C. A fórmula será a mesma, i.e., 2OS´^2 = b^2 – AO^2 – OC^2.

            OS= OS´ (o que desejamos) ó c^2 – OB^2 = b^2 – OC^2 ó c^2 + OC^2 = b^2 + OB^2. O que é uma verdade, pois transladando AC paralelamente a ele próprio até B, isto é, de forma que A esteja em B, (o ponto C será V, vértice do paralelogramo assim formado) e o segmento OB^2 + c^2 aparecerá no triângulo OBV retângulo. Da mesma forma, transladando AB paralelamente a ele mesmo até C, isto é, de forma que B esteja C, (o ponto A será A´, vértice do paralelogramo assim formado), teremos naturalmente que A´, C, V são colineares, ficará também formado o triângulo A´O V que tenho que provar que é isósceles (A´O = OV) para acabar o problema. Pois bem, OC é perpendicular a A´V e A´C = AB = CV, logo o triângulo que se quer provar que é isósceles é realmente isóscele, o que acaba o problema.

            Corrijam-me por obséquio.

            Em realidade, agora vejo, após escrever de forma mais concreta, fácil é passá-la à linguagem mais fictícia, um tanto ensinada. Talvez seja mais fácil mostrar aos alunos algo mais pelo lado concreto (sempre que possível, claro) e caso ainda se julgue necessária fazer uma tradução, que seja feita (mas, não me parece necessária?!). Agora, creio também que o universo do que pode ser escrito de forma concreta, no mundo da matemática, é um tanto pequeno, não, creio que sim, não sei?

 

Fraternalmente, João.


Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:
 
1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos.
 
2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:
 
a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC.
 
b) O triângulo ABC é acutângulo.
 
Grato desde já.

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