Ola Fernando e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu so respondi por dois motivos :
1) Tornar claro a ligacao do problema com o tema das particoes tanto para facilitar a solucao de alguem que venha a ter interesse pela questao como para colocar em pauta aqui na lista este tema da teoria dos numeros ( particoes ), muito pouco abordado. 2) O tipo de problema me levou a imaginar que voce fosse um pesquisador na area de Computacao e estava querendo testar a eficiencia de algum sistema de codificacao de mensagem tal que tomando dois subconjuntos disjuntos B e C de A={1, 2, ..., N }, N nao tao grande, com mesma soma dos elementos, ao transmitir a mensagem codificada com B um outro usuario facilmente encontraria C e decodificaria, enquanto que uma pessoa estranha nao-autorizada - tendo inteceptado a mensagem - dado a grande quantidade de possibilidades, teria muita dificuldade numa decodificacao nao-autorizada. O caso 2) seria interessante se fosse viavel para N "nao tao grande", pois significaria um aperfeicoamento em relacao ao que se faz rotineiramente hoje ( numero primo "grande" ). Entretanto, vejo que imaginei errado ... Como voce diz que isto e apenas um problema olimpico, eu procuraria uma solucao bem elementar, por exemplo : 1) E claro que existe UMA UNICA solucao de COMPRIMENTO MINIMO, nomeadamente, comecando com uma PA decrescente de primeiro termo 2007 e razao -1. Talvez seja necessario acrescentar um menor termo que nao faca parte da PA. Chamarei esse cara de N. Mas ela tera a forma : N + ( (P) + (P+1) + (P+2) + ...+ 2007) =1007514 2) E claro que vai haver uma solucao de COMPRIMENTO MAXIMO, com a forma : 1 + 2 + ... + Q + N = 1007514 3) Classificando-se as solucoes pelos comprimentos talvez fique mais facil encontra-las. Nao pensei no problema, mas fica a sugestao Um Abraco Paulo Santa Rita 4,0B23,070B07 Em 07/11/07, fccores<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Prezado Paulo Santa Rita, > > Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do > problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos > favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este > que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise > combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca > de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro. > Estudei, inclusive um outro problema correlato: > > "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 + > ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]." > > Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira > explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava > (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um > problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei > algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele > coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova. > > Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem e > parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da > qual sou um leitor assíduo. > > Fernando Córes > > > > Ola Fernando e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio > > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas > > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em > > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos > > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular > > este enunciado. > > > > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras > > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde : > > > > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio > > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C > > > > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que > > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028 > > / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto > > B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja > > 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2) > > acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos > > nos preocupar apenas em determinar > > > > ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus > > elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja > > 1007514. > > > > Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como > > 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro > > positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514. > > Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros > > positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2 > > + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade > > todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes : > > > > 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas > > 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007 > > > > Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser > > expresso assim : > > > > ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que > > as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma > > delas seja superior a 2007. > > > > Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios : > > > > P0 = 1 > > Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ... > > > > Analisando a sequencia acima, e facil ver que > > > > 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1 > > 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2 > > > > Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e > > que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela > > primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i" > > seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso > > claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2 > > . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n > > cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn. > > > > Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece > > informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a > > duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 + > > (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um > > produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir > > para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus > > expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e > > igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas, > > todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser > > expresso assim : > > > > ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ? > > > > Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes. > > Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas > > contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar > > e introdutorio, trata desse tema : > > > > Introducao a Teoria dos Numeros > > Colecao Matematica Universitaria - IMPA > > Autor > > > > Voce tambem pode ver isso aqui : > > > > http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 4,0738,070A07 > > > ===================================================================== > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================