A função correta do perímetro em função de um dos lados é
P(b) = 2(400/b +b), ou
P(b) = 800/b + 2b, que NÃO é quadrática. Sua derivada é P'(b) = -800/b² + 2b,
que zera quando b vale raiz cúbica de 400. Nesse ponto deve estar o mínimo
(claro, admitindo tacitamente que, já que o problema afirmou que tem mínimo,
esse ponto será mesmo de mínimo)
Abraço,
João Luís
----- Original Message -----
From: Tales Prates Correia
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, November 16, 2007 2:16 PM
Subject: RE: [obm-l] Perímetro Mínimo
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Olá!
Lembremo-nos, em primeiro momento, de que todo retângulo é um
paralegramo. Conseguintemente, se denotarmos por a e b
as medidas de dois de seus lados consecutivos, a medida de se
perímetro será P = 2(a + b) *
Para tal afirmação recorremos à seguinte propriedade dos
paralelogramos: qualquer par de lados opostos são congruentes.
Sabemos ainda que a área do retângulo dá-se pelo produto das
medidas de seus lados: A = ab **. Logo, é válido afirmar que
a = A/b ***.
Se substituirmos *** em *, obteremos a lei de correspondência da
"função perímetro":
P(b) = 2(A + b²)/b
definida em R+ com imagens em R+.
A função derivada de P é definida pela seguinte lei
P'(b) = 2(b² - A)/b
A única raiz dessa função é b = 20, uma vez que D(P') = R+. Com
um pouco de paciência, é possível mostrar que existe uma
vizinhança V de b = 20 tal que P'(x) < 0 se x < b e P'(x) > 0 se
x > b. Por conseguinte P(b) é o mínimo absoluto de P, pois não
existem outros extremantes.
Assim, o perímetro mínimo do retângulo cuja área vale 400cm² é
P(20) = 80cm.
Acho que é isso.
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Date: Fri, 16 Nov 2007 12:33:39 -0200
Subject: [obm-l] Perímetro Mínimo
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal ,não consigo montar minha função quadrática em função do
perímetro.
Dentre os retângulos com área 400cm2, existe um, cujo perímetro é o menor
possível. Qual o perímetro deste retângulo, em cm?
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