On Dec 6, 2007 4:06 PM, João Pedro de Gusmão Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Amigos me ajudem nos seguintes exercícios: > > 1) Por um ponto J exterior a uma elipse tracemos as retas tangentes à > elipse, JM e JN, onde M e N são os pontos de tangência. Seja P o ponto > médio de MN, mostre que a reta JP passa pelo centro dessa cônica.
Aplique uma transformação afim para transformar a elipse em um círculo. Note que retas tangentes são levadas em retas tangentes, centro em centro e ponto médio em ponto médio. Note também que para um círculo o problema é trivial. > 2) Análogo ao anterior para hipérbole. Dá para provar por argumentos abstratos que se a coisa dá certo para toda elipse deve necessariamente dar certo para uma hipérbole também. Mas acho que o mais fácil é fazer por analítica. Aplique uma transformação afim para que a hipérbole seja xy = 1. Se o ponto J = (a,b) estiver no primeiro quadrante devemos ter ab < 1. Aplique transformação linear da forma diagonal(c,1/c) para ver que você pode supor que o ponto J tenha a forma (d,d), 0 < d < 1. O resultado segue por simetria em relação à reta y=x. Se o ponto J estiver no segundo quadrante a transformação linear diz que podemos supor J = (-d,d) e agora o resultado segue por simetria em relação à reta y=-x. O terceiro quadrante é análogo ao primeiro e o quarto é análogo ao segundo. Se o ponto J estiver em um dos eixos a situação é um pouco degenerada pois uma das tangentes vira uma assíntota e o correspondente ponto de tangência foge para infinito. Mesmo assim dá certo. > 3) O aconteceria se a cônica fosse uma parábola? A reta JP fica paralela ao eixo da parábola. N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
