Vejamos Lagrange:

Caso i) Grad(x^2+y^2+z^2)=0 dah x=y=z=0 que nao serve.

Caso ii) Grad(x^3+y^3+z^3-3xyz)=(3a/2).grad(x^2+y^2+z^2)
(Chamei a constante lambda de 3a/2 para facilitar o que vem a seguir)

O sistema eh:
i) x^2-yz=ax
ii) y^2-xz=ay
iii) z^2-xy=az
iv) x^3+y^3+z^3-3xyz=1

(Se x=0, vem yz=0. Suponha y=0, e vem z^3=1, isto eh, (x,y,z)=(0,0,1) com
a=1 eh solucao.
Analogamente, temos as possibilidades (0,1,0) e (1,0,0) para (x,y,z).
Qualquer uma delas satisfaz a restricao e dah x^2+y^2+z^2=1... serah que
este eh o minimo?)

Agora, meu professor Secco me fez decorar a fatoracao:
v) x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=S.(T-DP)
onde S=x+y+z; T=x^2+y^2+z^2 e DP=xy+xz+yz.

Entao temos:
vi) 1=S(T-DP)
(i)+(ii)+(iii)=vii): T-DP=aS
x(i)+y(ii)+z(iii)=viii): 1=aT
Identidade ix): S^2=T+2DP

Estas 4 equacoes sao mais faceis de resolver:
vii) em vi) dah 1=aS^2 (em particular, a,S<>0)
com viii) 1=aS^2=aT, entao S^2=T e, por (ix),  DP=0
Isto em vii): entao T=aS
Isto em aS^2=aT dah a=S, entao (como aS^2=1) a=S=1 e, enfim, T=1.

Em suma:
i) Como x^2+y^2+z^2>=0 e a superficie x^3+y+3+z^3-3xyz=1 eh fechada, tem de
haver um minimo;
ii) Por Lagrange (funcoes suaves) se houver algum minimo, ele deve
satisfazer T=1;

Ou seja, achamos o minimo T=1, mesmo sem ter resolvido completamente o
sistema.
De quebra, encontramos no chute tres pontos onde o minimo eh alcancado (pode
haver outros).

Abraco,
          Ralph

P.S.: E note o problema com aquele sistema; T=1 eh uma esfera e S=1 eh um
plano. Entao S=T=1 eh um circulo (onde automaticamente DP=0).
Pela identidade v), em TODOS os pontos deste circulo tem-se
x^3+y^3+z^3-3xyz=S(T-DP)=1, ou seja, o sistema de Lagrange tem uma
infinidade de solucoes!
Assim, a esfera T=1 e a superficie x^3+y^3+z^3-3xyz=1 se tangenciam com um
CIRCULO em comum no espaco... Deixa eu fazer uma figura... Ok, veja GIF
anexo!

2008/2/1 Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]>:

>  Ache o minimo de x^2+y^2+z^2, onde x,y,z pertence a R e
> x^3+y^3+z^3-3xyz=1
>
> Alguem conhece alguma desigualdade que encaixa ai? Eu tentei usar os
> multiplicadores de lagrange mas caiu em um sistema que num consegui resolver
> não.
> vlw.
>
> ------------------------------
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Responder a