Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar :
Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao e^N = Xn + RL, onde RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte : Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) => LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N)) Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao. EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em seus valores naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em "pontos naturais". Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,080A,080408 2008/4/7 Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>: > Gostei do argumento! > Vou pensar na questao do "meio da serie". De imediato, nao sei. > Abracos > Artur > > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa > Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + > (n^2)/2!...+(n^n)/n!) > > > O difícil desse argumento é a famosa "convergência uniforme". Eu acho > (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está > certo, um pouco pelo fato de "parecer meio roubado" pegar o limite > assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco > acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos > "importantes" da soma estão "no meio" da série... e a gente truncou ! > Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma > prova de que a resposta é 1/2 !!!!) : > > Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o > n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e > a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e > a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1). > > Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira > mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica : > > > (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) > + ... > + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) > + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) > + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) > + (1 - 1/n ) > + 1 + 1 ( os "termos do meio" n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! ) > + (1 - 1/(n+1) ) > + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) ) > + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) ) > + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) ) > + ... > > Note que quando n -> inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra > 1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os "de baixo" convergem para > os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar > isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha > perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos > "depois" aos termos "antes" do meio e com isso "dá pra ver" que na > verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para > e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da > convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a > soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma > PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo "depois", mas veja que > tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar > errado com n -> infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como > os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple > / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em > torno!) > > Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do "meio da série" > ? > Rogério : passo a bola pra você me convencer ! > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > 2008/4/5 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: > > Oi Marcelo, > > quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o > > Nehab tambem vai :-) > > > > Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu > vejo. > > > > A questao original e' calcular > > > > lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) > > > > Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da > > expansao de Taylor para "e^n". > > > > O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo > > fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste > > ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou > > nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n). > > > > Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 , > > simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n. > > > > Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas > > apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que > > estabeleco que o limite vale 1. > > > > Grande abraco, > > Rogerio Ponce. > > > > > > > > Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > > Olá Ponce, quanto tempo... > > > > > > eu penso um pouco diferente, vejamos: > > > > > > e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k! > > > não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende? > > > > > > vejamos: > > > 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k! > > > > > > lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k! > > > > > > lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k! > > > > > > vou chamar x de n, entao: > > > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k! > > > > > > ou então: > > > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) > > > > > > agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que: > > > lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = > lim > > > {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ?? > > > > > > se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando > aqui.. > > > > > > abraços, > > > Salhab > > > > > > > > > > > > 2008/4/4 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > > > Oi Artur, > > > > minha conclusao e' que vale o mesmo que > > > > e^(-n) * e^(n) = 1. > > > > []'s > > > > Rogerio Ponce > > > > > > > > > > > > > > > > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > > > > > > > > > > > > Mas como concluir que é 1/2? > > > > > > > > > > Artur > > > > > > > > > > -----Mensagem original----- > > > > > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > > > > nome de Rogerio Ponce > > > > > > > > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58 > > > > > > > > > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + > > > > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!) > > > > > > > > > > > > > > > Ola' Artur, > > > > > acho que e' mais simples que voce imagina. > > > > > O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. > > > > > E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se > > > > > aproxima da expansao de Taylor. > > > > > No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas > > > expressoes. > > > > > []'s > > > > > Rogerio Ponce > > > > > > > > > > > > > > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + > > > x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue > x > > > =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número > de > > > termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais > > > complicado. > > > > > > > > > > > > Artur > > > > > > > > > > > > > > > > > > -----Mensagem original----- > > > > > > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > > > > > nome de Rogerio Ponce > > > > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 > > > > > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + > > > > > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!) > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Oi Artur, > > > > > > a expansao de Taylor para e^n vale > > > > > > e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... > > > > > > Assim, esse limite deve ser igual a 1. > > > > > > []'s > > > > > > Rogerio Ponce > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei > várias > > > soluções, > > > > > > > mas não deu certo. > > > > > > > > > > > > > > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma > > > integral, mas não > > > > > > > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é > > > aplicar o > > > > > > > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com > média 1. > > > Também não > > > > > > > consegui ver como. > > > > > > > > > > > > > > Alguem tem alguma sugestao? > > > > > > > > > > > > > > Abracos > > > > > > > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================