At 06:08 22/4/2008, [EMAIL PROTECTED] wrote:

EM UM CICLO DE TRÊS CONFERÊNCIAS, QUE OCORRERAM EM HORÁRIOS DISTINTOS, HAVIA
SEMPRE O MESMO NÚMERO DE PESSOAS ASSISTINDO A CADA UMA DELAS. SABE-SE QUE
A METADE DOS QUE COMPARECERAM À PRIMEIRA CONFERÊNCIA NÃO FOI A MAIS NENHUMA
OUTRA; UM TERÇO DOS QUE COMPARECERAM À SEGUNDA CONFERÊNCIA ASSISTIU A APENAS
ELA E UM QUARTO DOS QUE COMPARECERAM À TERCEIRA CONFERÊNCIA NÃO ASSISTIU
NEM A PRIMEIRA NEM A SEGUNDA. SABENDO AINDA QUE HAVIA UM TOTAL DE 300 PESSOAS
PARTICIPANDO DO CICLO DE CONFERÊNCIAS, E QUE CADA UMA ASSISTIU A PELO MENOS
UMA CONFERÊNCIA, O NÚMERO MÁXIMO DE PESSOAS EM CADA CONFERÊNCIA FOI:
A) 180 B) 80 C) 156 D) 210 E) 96

Sejam:

A = {participantes da 1a conferência}
B = {participantes da 2a conferência}
C = {participantes da 3a conferência}

Então (do enunciado): N(A) = N(B) = N(C) = n

Sejam também:

A' = {participantes somente da 1a conferência}
B' = {participantes somente da 2a conferência}
C' = {participantes somente da 3a conferência}

Então (também do enuncuiado): N(A') = n/2; N(B') = n/3; N(C') = n/4

Como N(A'), N(B') e N(C') são inteiros não negativos --> n é múltiplo de 12 (elimina as opções (b) e (d) ;-))

Sejam ainda:

X = {participantes da 1a e da 2a conferências, mas não da 3a} --> N(X)=x
Y = {participantes da 1a e da 3a conferências, mas não da 2a} --> N(Y)=y
Z = {participantes da 2a e da 3a conferências, mas não da 1a} --> N(Z)=z
W = {participantes das 3 conferências} --> N(W)=w

Armando o diagrama de Venn, de acordo com o enunciado e com estas definições, encontramos as seguintes equações:

x + y + w = n/2                                              [1]
x + z + w = 2.n/3                                            [2]
y + z + w = 3.n/4                                            [3]
x + y + z + w + n/2 + n/3 + n/4 = 300                        [4]

Então:

[4] - [3] --> x = 300 - 11.n/6                               [5]
[4] - [2] --> y = 300 - 7.n/4                                [6]
[4] - [1] --> z = 300 - 19.n/12                              [7]

Substituindo [5], [6] e [7] em [4] --> w = 49.n/12 - 600     [8]

x, y, z e w são inteiros, e o valor de n tem de ser tal que todos sejam, simultaneamente, não negativos. Então:

[5] --> n <= 163 \
[6] --> n <= 171  \
[7] --> n <= 189  / 147 <= n <= 163
[8] --> n >= 147 /

O único múltiplo de 12 neste intervalo é 156 --> a resposta correta é (c)


J. R. Smolka  

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