--- Francis Alves <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Primeiro,vamos mostrar que a_n >= para todo n.
Para n = 1, isto se segue da definicao. Se valer para algum n, entao = a_(n+1)= 3 - 1/a_n >= 3 - 1/2 = 2,5 > 2. (i) seja s_n = a_n - a_( n - 1), n >=2. Entao, s_1 = 3 - 1/2 - 2 = 1/2 > 0. Supondo-se s_n > 0, entao s_(n + 1) = a_( n +1) - a_n = 3 - 1/a_n - (3 - 1/a_(n - 1)) = 1/a_(n - 1) - 1/a_n . Como os termos sao positivos e, pela hipotese indutiva, a_(n - 1) < a_n, temos que s_(n +) = 1/a_(n - 1) - 1/a_n > 0, o que completa a inducao e mostra que a sequencia eh crescente. (ii) temos a_1 = 2 < 3. Se a_n < 3, entao a_(n+1)= 3 - 1/a_n < 3 - 1/3 < 3, o que completa a inducao e mostra que a_n < 3 para todo n. (iii) acabamos de concluir que a_n e crescente e limitada superiormente, o que implica que convirja para algum real a. Em virtude da formula recursiva, a uma das raizes de a = 3 - 1/a => a^2 - 3a + 1 = 0, as quais sao (3 - raiz(5))/2 < 2 e (3 + raiz(5))/2 > 2. Como a_n eh crescente e a_1 = 2, temos a > a_1 > 2, de modo que a 1a raiz nao serve. Assim, temos a = (3 + raiz(5))/2. Artur > Tem sim. Na verdade, o enunciado correto é: > > > Mostre que a sequencia definida pora_1=2a_(n+1)= 3 > -1/a_ni) é crescente;ii)a_n<3 para todo n;iii) é > convergente;iv) calcule seu limite.Fran ;-) > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================