Olá, Fernando,
Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo que,
destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e assim
por diante, de tal modo que:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito de
compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses valores
são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e C(n+5-1,5-1) =
C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
ou, expandindo,
(1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84. Logo,
basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 % de se
adquirir os cinco brindes.
Um abraço,
Eduardo Luis Estrada
----- Mensagem original ----
De: Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
Assunto: [obm-l] DESAFIO
Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde para
incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a idéia é
fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível descobrir qual
brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto. Nesse caso, um
colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5 caixas do
produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele não sabe qual
brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais de 5 caixas para
completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos. Qual seria o número
mínimo de caixas que a pessoa teria que comprar para assegurar, com 90% de
chances, de que ela terá os 5 brindes?
Fernando
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