[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2 ª questão

Wed, 28 May 2008 08:04:19 -0700 

Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:

como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007

partimos de duas constatações:

a) um quadrado perfeito par é divisível por 4

**prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2

b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1

**prova: tome x^2 ímpar ==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 
= 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, 
logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2

1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 
4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os 
valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 
suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no 
total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo 
raciocínio para 3 - 2007)

2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 
==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c 
assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] 
(para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, 
mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 
250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 
2007)

RESP: para 1503 inteiros c
  ----- Original Message ----- 
  From: douglas paula 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2ª 
questão


  rodrigo,

   ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é 
necessariamente igual à 2^n

  venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito 
resultado ...

  [EMAIL PROTECTED] escreveu:
     
    vou tentar,

    2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo número pode ser expresso 
como diferença de dois quadrados, só existem "c" tal que n possa ser um 
quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados


      ----- Original Message ----- 
      From: douglas paula 
      To: obm-l@mat.puc-rio.br 
      Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM
      Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2ª questão


      XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
      TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)
      PRIMEIRO DIA

      PROBLEMA 2
      Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro 
x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? 

      alguém se habilita?

      grato, 
                       Douglas

--------------------------------------------------------------------------
      Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 




------------------------------------------------------------------------------
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!

Responder a