- Foi mal....acabei enviando sem querer, antes de terminar.....:) Olá Martins, Eu ainda não consegui resolver o 4, mas vou continuar tentando. Qto a 2a. questão, segue : Marque Q em AB, tal que QCB=20. Assim, QC=BC. Após, marque R em AC, tal que RQC=60 (como RCQ-60, o triângulo QRC é equilátero, QR=QC=RC=BC). Marque agora, em AB um ponto S, tal que SRQ=100. Como SQR=40, QR=RS (=BC). Agora repare que, assim, SRA=20. Como SAR=20 tb, segue que RS=AP=BC, o que obriga que os pontos S e P sejam coincidentes. Com isso, temos que PR=RC e RPC=10. Como RPB=40, então CPB=30. Um Abraço, Felipe --- Em qua, 13/8/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria (problema 3) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 13 de Agosto de 2008, 22:20 Olá Felipe, Após alguns dias, consegui resolver a 4ª questão. Encontrei ângulo de 25º. Estarei postando a solução (que não foi pequena) em breve... Não entendi muito bem a solução que vc deu para a 2ª questao. Vc poderia explicar novamente. []'s Martins Rama > Martins, > > Problema 3 > > Verificar que o ângulo  = BAC=ABD=ACD, para que BDC= 3 BAC. Vamos chamar > AB=AC = m e BM=MC=x. > > Do triângulo retânguo ABM temos : > > x2 + 121 = m2 > > x2 = m2 - 121 > > Â/2 = BAM > > Sen(Â/2) = x/m ; Cos(Â/2) = 11/m, então Sen(Â) = 2(x/m)(11/m) = 22x/ m2 > > Cos(A)2 = 1 - 484x2/m4 = (m4 - 484x2)/m4 = (m4 - 484 m2 + 484*121)/m4 > > Cos(A)2 = ( m4 - 2*11*22 m2 + (11*22)*(11*22) )/m4 > > Cos (A) = (m2 - 242)/m2 > > Agora, vamos aplicar a lei dos Cos noa triângulo ABC : > > 4x2 = m2 + m2 - 2 m2Cos(A) > > 4(m2-121)= 2m2 - 2m2 (m2 - 242)/m2 > > 4m2 - 484 = 2m2 -2m2 + 484 > > 4m2 = 968; m2 = 242; m = 11 Sqrt(2), logo x=11. Assim, 2P = 2x +2m = 22 ( > Sqrt(2) +1 ) > > > Então, BAC= 90. Se não errei em conta (ou o problema), não existe D tal > que AD=10, DM=1 e o ângulo BDC=3BAC. > > > Agora, o último problema parace ser uma verdadeira "trolha".....Vou tentar > hj a noite, mas pelo que vi, este vai demorar....:) > > Abs > Felipe > > > > --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria > (Errata problema 2) > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 11:03 > > > > > > > > > Martins, > > Verificar, no desenho anterior, que o triângulo CNP é isósceles, com CNP = > 100 + 60, assim NCP=NPC= 10, Como NPM =40, CPN = 30. > > Abs > Felipe > > --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 10:54 > > > > > > > > > Martins, > > Favor desconsiderar o item 2. A solução está errada. > > Abs > Felipe > --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 9:37 > > > > > > > > Olá Martins, > > Estas são as soluções que vi para as 2 primeiras questões. As outras duas, > tentarei resolver até amanhã. > > > 1a) Questão > > Pode-se utlilzar geometria analítica . Vc deverá determinar as coordenadas > dos pontos (coloque um dos vértices do triangulo equilátero no ponto (0,0) > ). A seguir, determine as equações das retas que contém as cevianas e o > ponto de intercessão das duas cevianas. Após, vc poderá determinar o > ângulo pedido, através dos coeficientes angulares das retas que contem BP > e DP(não fiz as contas, mas parce ser 90). > > 2a) Questão > > Marque M em AB, tal que MCB = 20 ; N em AC tal que CMN = 60 e Q em AB, tal > que MNQ = 100 . Vc irá verificar que Q=P, e BPC=40 > > Abs > Felipe > --- Em dom, 10/8/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > De: Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Domingo, 10 de Agosto de 2008, 15:50 > > Olá pessoal. > > Alguém poderia me ajudar a resolver as questões de geometria plana abaixo? > > Obrigado. > > Martins Rama. > > > QUESTAO 1 > Em um triângulo eqüilátero ABC, sejam D e E pontos sobre os lados AB e BC, > respectivamente, de modo que AB=3AD e BC=3BE. Se P é o ponto de interseção > de AE com CD, então a medida do ângulo BPC é: > a) 60° > b) 90° > c) 120° > d) 135° > e) 150° > > > QUESTAO 2 > Em um triângulo isósceles ABC, com AB=AC, os ângulos da base medem 80º. Se > P é um ponto sobre o lado AB, tal que AP=BC, então a medida do ângulo BPC > é: > a) 20° > b) 30° > c) 40° > d) 50° > e) 60° > > > QUESTAO 3 > Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC E e altura AM=11. Supondo que > haja um ponto D sobre AM, tal que AD=10 e o ângulo BDC seja igual ao > triplo do ângulo BAC, então o perímetro do triângulo ABC vale: > a) 11(sqr(3)+1) > b) 11(sqr(5)+1) > c) 11(sqr(7)+1) > d) 11(sqr(11)+1) > e) nenhuma das respostas anteriores > > > QUESTAO 4 > Num triângulo ABC, tem-se que os ângulos B=100° e C=65°. Sobre o lado AB > toma-se um ponto M de modo que o ângulo MCB=55° e, sobre o lado AC toma-se > o ponto N de modo que o ângulo NBC=80°. A medida do ângulo NMC é igual a: > a) 10° > b) 15° > c) 20° > d) 25° > e) 30° > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua > cara @ymail.com ou @rocketmail.com. > > > Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. 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