Se A é diagonalizável, então existe uma base em R^n
(n = número de linhas/colunas de A) formada por autovetores de A:
X = { v_1, v_2, ..., v_n }.
Isto significa que:
A(v_i) = lambda_i * v_i, onde lambda_i é o autovalor
associado ao autovetor v_i.
Note que, como A é invertível, temos lambda_i != 0, para todo i.
Seja B = A^-1 (inversa de A).
Na equação:
A(v_i) = lambda_i * v_i,
aplicando B nos dois lados, temos:
v_i = B( lambda_i * v_i ) => ( 1/lambda_i ) * v_i = B( v_i ).
Isto mostra que todo autovetor v_i de A é também autovetor de B,
com autovalor 1/lambda_i.
Portanto a mesma base X serve para diagonalizar B.
Nesta base, B tem a forma:
Diag[ 1/lambda_1, 1/lambda_2, ..., 1/lambda_n ].
- Leandro.
