Ok Rafael... perdão.... não vi sua resposta mesmo... é que não estava junto desse e-mail, mas indo um pouco lá atrás acabei de encontrá-la... Bom... próxima vez que eu for responder algo me certificarei de que a resposta já não foi postada...
Desculpe-me de novo! -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Ando Enviada em: sábado, 23 de agosto de 2008 04:35 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora? Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de novo caso outros tenham perdido a resposta tb! On 8/23/08, João Gabriel Preturlan <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Saudações a todos! > > Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém > propôs uma solução de fato. > > Então proporei uma solução! > > Partindo das seguintes "premissas": > > 1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma > visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o > professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer > elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver > o exercício.) > > Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 + > 2*sqrt{2}... > > Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é > do que (sqrt{2} + 1)^2 > > O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) = > > 2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)... > > Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra > facilitar a visualização): > > (sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de > visualizar que: > > (sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ]) > > Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7) > = (sqrt{2} + 1)^3 > > Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando > as multiplicações de expoente): > > [(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2 > > Efetuando a divisão: > > (sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2 > > Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a > parte fora da fração...): > > 3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6 > > Logo, o número é um múltiplo de 6! > > Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível. > > Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos "produtos > notáveis" são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona > muito bem... pode não fazer diferença para alguns... > > > > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome > de Rafael Ando > Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora? > > Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse > no denominador, I resultado nao seria inteiro... > On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >> Dá 6 exato. >> >> Em 22/08/08, Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >>> >>> Hm.... daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis >>> dizer.... >>> >>> 2008/8/22 Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> >>> >>>> Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho > quase >>>> certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do >>>> denominador (daria um numero apenas "um pouquinho maior" que > 3+2sqrt(2)). >>>> >>>> 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]> >>>> >>>> O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à >>>>> fração existente? >>>>> >>>>> 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> >>>>> >>>>> Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o >>>>>> Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. >>>>>> Airton >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em 21/08/08, Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >>>>>>> >>>>>>> Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo > com >>>>>>> uma hp49 seria dificil... >>>>>>> >>>>>>> 2008/8/21 Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> >>>>>>> >>>>>>>> Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com >>>>>>>> uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão >>>>>>>> arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um >>>>>>>> problema >>>>>>>> similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os >>>>>>>> últimos >>>>>>>> três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos >>>>>>>> problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em < >>>>>>>> http://code.google.com/codejam/>, lá tem uma análise detalhada da >>>>>>>> solução do problema que acabei de mencionar) >>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Abraços, >>>>>>>> Maurício >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO < >>>>>>>> [EMAIL PROTECTED]> wrote: >>>>>>>> >>>>>>>>> O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 >>>>>>>>> + >>>>>>>>> 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: >>>>>>>>> a) múltiplo de 11 >>>>>>>>> b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008 > Resp. >>>>>>>>> d >>>>>>>>> c) múltiplo de 5 >>>>>>>>> d) múltiplo de 3 >>>>>>>>> e) primo. >>>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Rafael >>>>>>> >>>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>> >>>>> >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Rafael >>>> >>>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Rafael >>> >>> >> > > > -- > Rafael > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > No virus found in this incoming message. > Checked by AVG - http://www.avg.com > Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008 > 18:54 > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Rafael ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.7/1629 - Release Date: 23/08/2008 13:16 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
