LEIAM ATÉ O FINAL!
Um dos problemas passados desta Lista tratava de analisar se era verdadeira ou
falsa a seguinte proposição:
SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.
E isto não é tão simples! Leiam até o final!
Inicialmente, acho que, nas respostas a este problema, houve uma discussão
desnecessária, que incluiu a chamada "hipótese vazia" ou "vacuidade".
Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do tipo P->Q
(SE "P" ENTÃO "Q") , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição P->Q é
sempre 1 (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo lógico
"se... então..." (->). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte
tabela-verdade:
P Q P->Q
0 1 1
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem humana,
que não é, formal e necessariamente, lógica.
Em síntese, quer dizer o seguinte: partindo-se de uma hipótese falsa, pode-se
(deve-se) concluir que qualquer proposição (falsa ou verdadeira) seja
verdadeira. Exemplos:
"SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Presidente do Brasil"
... 1 (proposição verdadeira).
"SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Imperador do Japão" ...
1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é mesmo o
Imperador do Japão...).
Bem, o que interessa é que SE (P)=0, ENTÃO (P->Q)=1.
A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma proposição
lógica equivalente, que seja mais "palatável" à linguagem humana. Por exemplo:
(~PvQ) (~=NÃO ; v=OU). Vejam as respectivas tabelas-verdade:
P Q P->Q ~P Q ~PvQ
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1
1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
Assim: (P->Q) = (~PvQ) , pois têm tabelas-verdade idênticas.
E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira (LEIAM ATÉ O FINAL!):
SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.
É equivalente à proposição:
"x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde.
P [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por DEFINIÇÃO,
o conectivo "v" (OU) exige, para ser 1, que APENAS uma das proposições (dentre
P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU
"x" é verde ] é 1, qualquer que seja Q [ "x" é verde ]. Q pode ser 1 ou 0.
É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo "v" (OU) é também compatível com a
linguagem humana.
IMPORTANTE:
A dificuldade que se tem para se admitir como verdadeira qualquer proposição do
tipo P->Q , na qual P é 0 (e Q é 0 ou 1), está no fato de pensar (achar) que se
afirma (se prova) que Q seja 1 - e isto não é verdade! O que se afirma é que a
proposição P->Q é verdadeira e, não, a proposição Q.
Então, posso perguntar: Provou-se que é verdadeira a proposição "SE "x"
pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde"? E a resposta é: DEPENDE!!!
Sim, depende!
Toda a argumentação que apresentei baseia-se na admissão de uma hipótese
(implícita) fundamental: as proposições básicas (P e Q) devem ser DECIDÍVEIS
(i.e., é possível saber se são verdadeiras ou, este "ou" é exclusivo, falsas)!
Esta hipótese é necessária para todas as análises no âmbito da Lógica Clássica,
na qual se baseia a Teoria dos Conjuntos (antes de Gödel).
Exemplo:
Não é possível concluir se é verdadeira ou falsa a seguinte proposição:
"SE o meu cachorro recita Camões, ENTÃO o número de fios de cabelo que eu tinha
ontem na cabeça é primo" (P é 0 e Q é indecidível). UMA PROPOSIÇÃO DESTE TIPO
NÃO FAZ PARTE DO UNIVERSO DE ANÁLISE DA LÓGICA CLÁSSICA!
Voltando à proposição:
SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.
Para afirmar que esta proposição é verdadeira, é necessário admitir que se
possa DECIDIR (saber) se "x" pode ser verde, ou não. I.e., ter cor DEVE ser um
dos atributos de "x"! Implicitamente, "x" parece ser uma variável numérica e,
portanto, não tem o atributo "cor".
Um exemplo melhor:
SE o meu cachorro recita Camões, ENTÃO minha casa é gorda.
Ser "gorda" (ou "magra") não é um atributo lógico do elemento "casa". E, assim,
o exemplo dado não pode ser analisado no âmbito da Lógica Clássica.
Concluindo, a proposição original ficaria melhor, e indubitavelmente
verdadeira, se fosse escrita assim:
SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é múltiplo de 213.
Sds.,
AB
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