Meus amigos:
Reconheço: pisei na bola, atolei o pé na jaca, esparramei o tomate...
A solução que apresentei está errada: não atende a esta condição de contorno
que o Rogerio explicou abaixo. E o pior: teimei com o Rogerio que a solução
dele, essa sim, estava errada. Cheguei à loucura de afirmar que ele não
podia desprezar a influência de um termo infinitesimal frente à sua própria
variável - um desvario!
Mas... O Rogerio me telefonou e me trouxe de volta a sanidade: apaguem a
minha solução! Sorriam para a solução do Rogerio...
Contudo, acho que, no final das contas, sai ganhando: agora, tenho um novo
amigo!
Como consolo, lembro-me de Descartes, que, na sua obra máxima - O Discurso
sobre o Método -, provou, matematicamente, a existência de deus. Se
Descartes pode errar, então eu também posso... (conectivo lógico "se...,
então...).
De Descartes: "Cogito, ergo sum!" ("Penso, logo existo!". Eu,
particularmente, prefiro assim: "Penso, logo sou!").
Saudações a todos...
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[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
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>-----Mensagem original-----
>De: [EMAIL PROTECTED]
>[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogerio Ponce
>Enviada em: sexta-feira, 19 de setembro de 2008 16:57
>Para: [email protected]
>Assunto: [obm-l] Varredura de porta - sem sustos...
>
>Caro Bouskela (e colegas da lista),
>uma forma facil de se descobrir um problema numa solucao
>qualquer, seria testar se a envoltoria obtida implica em
>tangentes que, quando limitadas pelos "trilhos" da porta
>deslizante, geram segmentos com comprimento 1. Isso deve ser
>valido para toda a excursao da porta, obviamente.
>Na solucao abaixo, eu apresento isso ao final. Nao precisaria
>de tanto, mas serve para dissipar qualquer duvida que alguem
>possa ter sobre o caminho que utilizei.
>
>Apresentando novamente o "DESAFIO":
>
>Existe uma sala quadrada de lado L.
>Em um dos lados existe uma porta do tamanho da parede, ou seja, L.
>Portanto uma das paredes e' so' a porta.
>Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta.
>Essa porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto A da
>mesma segue em linha reta pelo segmento AB, enquanto o ponto B
>dela segue reto pelo segmento BC.
>Portanto, quando ela abre, ela varre certa area de dentro da sala.
>Qual o valor dessa area?
>
>===========================================================
>SOLUCAO:
>
>Para simplificar a notacao, vamos calcular tudo como se L
>fosse unitario, de modo que ao final, a area devera' ser
>escalada "de volta", para obtermos o valor correto.
>
>Entao, vamos imaginar que a porta MN, com comprimento 1, "deslize"
>sobre os eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao
>vertical (alinhada com Y), ate' atingir a posicao horizontal,
>alinhada com o eixo X. Assim, uma das suas extremidades "M",
>apoiada em Y, comeca em
>y=1 e desliza ate' y=0, enquanto a outra extremidade "N",
>apoiada em X, comeca em x=0 e desliza ate' x=1.
>
>Suponhamos entao que, num determinado momento, M esteja no
>ponto A=(0,y), e que N esteja no ponto B=(x,0).
>Um instante depois, ela estara' com M no ponto C=(0,y+dy)
>enquanto N estara' em D=(x+dx,0).
>Seja "P" = (x_P,y_P) a intersecao entre os dois segmentos, de
>forma que y_P e' a altura do triangulo PBD.
>
>Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos
>sucessivos triangulos PBD, obtidos 'a medida em que x varia de 0 ate'
>1.
>
>Este me parece justamente o ponto interessante dessa
>abordagem, pois se afasta da associacao quase automatica que
>fazemos entre "area total" e "fatias verticais" sob uma curva.
>Aqui neste caso, as nossas "fatias" sao triangulos, com base
>"dx" e altura "y_P".
>
>Partindo para as contas...
>
>A qualquer instante, as coordenadas variaveis das extremidades
>da porta (x=x_M e y=y_M )obedecem 'a equacao
> x**2 + y**2 = 1
>Diferenciando-se, obtemos
> -dy / dx = x / y
>
>Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos:
> CP / sinA = -dy / sinP
> PD / sinB = dx / sinP
>
>Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que
>sinB/sinA = y/x, vem:
> CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y
>ou seja,
> CP/PD = x**2 / y**2
>
>Assim,
> (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2
>ou
> PD = y**2
>
>Mas , por semelhanca de triangulos, y_P/PD = (y+dy)/1 Como
>"dy" e' infinitesimal, y_P/PD = y Assim, y_P = y**3 =
>(1-x**2) ** (3/2)
>
>Dessa forma, a area total equivale 'a
> integral de (h*dx/2) em x=[0,1], ou seja, integral de [ 1/2
>* (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1].
>
>Resolvendo-se a integral, obtemos
> Area varrida = 3*Pi / 32 = 0.294524
>
>Como na verdade a porta tem comprimento "L", devemos escalar a
>area varrida, de forma que a resposta e'
> AREA VARRIDA = 3/32 * Pi * L**2
>que vale aproximadamente 0.294524 * L**2
>
>[]'s
>Rogerio Ponce
>
>
>
>OBSERVACAO:
>
>Nesta solucao nao foi necessario nos preocuparmos com a
>envoltoria das posicoes sucessivas de nossa porta.
>Entretanto, ela e' percorrida exatamente pelo ponto P, cuja
>coordenada em Y e'
> y_P = y**3
>Por simetria, e' facil ver que
> x_P = x**3
>
>Assim, usando a relacao x**2 + y**2 = 1 , obtemos a equacao da
>envoltoria:
> x_P**(2/3) + y_P**(2/3) = 1
>Ou seja,
> y_P = [1 - x_P**(2/3)]**(3/2)
>
>
>Neste ponto poderiamos calcular novamente a integral de
>y_P*dx_P no intervalo [0,1], e obteriamos... o mesmo valor ja'
>calculada anteriormente.
>(claro que eu ja' conferi isso, ne'...)
>
>Mas poderiamos fazer mais. Sera' que realmente essa curva
>corresponde 'a envoltoria? Para tanto, seria necessario que as
>tangentes a essa curva, por qualquer ponto, tivessem sempre o
>comprimento de 1, quando limitadas pelos eixos X e Y.
>
>Vejamos entao:
>Seja o ponto x0,y0 pertencente 'a curva definida por x**(2/3)
>+ y**(2/3) = 1 Assim, -dy0/dx0 = [y0/x0]**(1/3)
>
>Para uma reta y = a*x + b , o comprimento delimitado pelos
>eixos X e Y sera'
> C = sqrt[b**2 + (b/a)**2] , ou seja,
> C = |b/a| * sqrt[1 + a**2]
>
>No nosso caso,
> a = dy0/dx0 = -[y0/x0]**(1/3)
> b = y0 - a*x0 = y0 + x0 * [y0/x0]**(1/3)
>
>Desse modo, como x0 e y0 sao positivos, temos C = [y0 *
>[x0/y0]**(1/3) + x0 ] * sqrt[1 + (y0/x0)**(2/3)] C = [y0 *
>[x0/y0]**(1/3) + x0 ] * sqrt[x0**(2/3) + y0**(2/3)] / x0**(1/3)
>
>Como essa raiz quadrada vale 1, a expressao toda se reduz a C
>= [y0 * [x0/y0]**(1/3) + x0 ] / x0**(1/3) C = y0**(2/3) +
>x0**(2/3) = 1
>
>Portanto, a curva definida por x**(2/3) + y**(2/3) e' de fato
>a envoltoria procurada, confirmando tudo o que ja' haviamos
>calculado anteriormente.
>
>[]'s
>Rogerio Ponce.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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