Oi, Venildo. Vou fazer de duas formas. A primeira é uma "gambiarra" usando-se notação binária. A segunda acho que é o que vc está procurando. (a) Sabemos que a representação binária de 2^n é (1000...0)_b, com n zeros. Assim, a soma 2^0 + 2^1 + ... + 2^n = (111...1)_b, um número cuja representação binária é dada por (n+1) algarismos 1 em sequência. Por outro lado, 2^(n+1) = (1000...0)_b, com (n+1) zeros. Subtraindo-se uma unidade desse número, temos 2^(n+1) = (1000...0)_b - 1_b = (111...1)_b, (n+1) algarismos 1, donde o resultado.
(b) Da mesma forma, a soma nos dá 0.111...1, isto é, um zero seguido de um separador decimal e "n" algarismos 1. Evidentemente, 0.111...1 < 1. O próximo número terá um "1" concatenado no final, sendo: 0.111...11 < 1. Temos então que a soma é < 1 para todo n. Agora, uma maneira mais ortodoxa de resolver esses mesmos problemas. (a) Seja S(n) = sum(i=0..n) 2^i. A proposição P(n) é: S(n) = 2^(n+1) - 1. Verifiquemos que vale para n=0: S(0) = 1 = 2 - 1 = 2^(0+1) - 1, ok. Agora suponhamos que valha P(n), e provemos a validade de P(n+1): S(n+1) = S(n) + 2^(n+1) = ( 2^(n+1) - 1) + 2^(n+1) = 2*2^(n+1) - 1 = 2^(n+2) - 1, isto é: S((n+1)) = 2^((n+1) + 1) - 1, ou seja, P(n) ==> P(n+1) Temos então: P(0) e (P(n) ==> P(n+1)). Logo (pelo princípio da indução, que é um dos Axiomas de Peano), a proposição P(n) vale para todo natural n. Faça o item (b) da mesma forma, isto é: 1) Defina a proposição Q(n). (Q(n): sum(i = 1 .. n) 2^(-i) < 1) 2) Prove a validade para n = 1. 3) Prove Q(n) ==> Q(n+1) 4) Conclua. Espero ter ajudado. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://www.brunoreis.com http://blog.brunoreis.com e^(pi*i)+1=0 On Thu, Nov 13, 2008 at 6:30 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote: > Boa tarde > > Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas > detalhadamente, estou um pouco perdido. > > a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, para n >= 0; > > b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n) < 1, > > Atenciosamente, > Venildo Junio do Amaral > [EMAIL PROTECTED] > http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual >
