Acho que a forma mais fácil de mostra isto é como o Alexmay fez. Mas, atendo-se
ao enunciado, temos que o termo geral desta série eh
x_n = a^((n +1)/2), se n for impar
x_n = b^(n/2), se n for par.
Assim,
|x_n|^(1/n) = a^((1 + 1/n)/2), se n for impar
|x_n|^(1/n) = b^(1/2) se n for par
Quando n -> oo, a 1a expressao tende para a^(1/2) e a segunda para b^(1/2).
Podemos ver que limsup |x_n|^(1/n) = (max{a, b})^(1/2). Como a e b estao em
(0,1), temos que limsup |x_n|^(1/n) < 1, o que mostra que a série eh
convergente.
Com base no argumento do Alexmay, o limite da serie eh a/(1 - a) + b/(1 - b)
Tomando a sequencia |x_(n +1)/x_n|, vemos que a mesma tem uma subsequencia que
converge para (b/a)^(1/2) e outra que converge para (a/b)^(1/2). Temos que
limsup |x_(n +1)/x_n| = (max{a/b, b/a})^(1/2), e nada garante que isto seja
menor que 1. Vemos tambem que liminf |x_(n +1)/x_n| = (min{a/b, b/a})^(1/2),
que pode nao ser > 1. Assim,
Se (max{a/b, b/a})^(1/2) < 1, o teste indica convergencia
Se (min{a/b, b/a})^(1/2) > 1, o teste indica divergencia. No caso, para oo.
Se (min {a/b, b/a})^(1/2) > 1 e (max{a/b, b/a})^(1/2) > 1, que pode muito bem
acontecer, o teste falha. Nada indica.
Assim, nao hah garantoa de que o teste da razao funcione.
Mas friso que, no caso, a forma mais facil de se chegar a uma aconclusao eh
como o Alex fez. A aplicacao aqui destes testes tem finalidae puramente
didatica.
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
De: [email protected] [mailto:[email protected]]em nome de
Carlos Silva da Costa
Enviada em: domingo, 11 de janeiro de 2009 17:54
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] ajuda Séries
Amigos da lista,
alguém poderia dar uma força?
Sejam a, b pertencentes a R com 0 < a < b < 1. Use o teste da raiz para concluir
que a série a+b+a^2 +b^2 +a^3 +b^3 +· · · converge. Mostre que o teste da
razão não permite concluir isso.
abraços,
Jhonata
