Ola Carlos,
Ele nao deu DOIS termos : ele definiu uma sequencia DESTACANDO duas desuas
subsequencias. A sequencia esta bem definida e comporta umainfinidade de
subsequencias. Agora, no que concerne diretamente com aquestao, ha um resultado
classico e basico da analise real que podeser enunciado da seguinte maneira :
"Se uma sequencia converge, entao TODAS as suas sub-sequencias tambemconvergem
PARA O MESMO VALOR."
Entenda bem. Se uma seqquencia converge, entao 1) todas as suassubsequencia
convergem 2) todas as subsequencias convergem para omesmo valor a que a
sequencia converge.
Uma implicacao obvia e imediata e a seguinte : se sabemos que umasequencia
converge, para sabermos para que valor ela converge bastacalcular o limite de
qualquer uma de suas subsequencias.
Voltando ao seu problema, vemos que a subsequencia formada pelostermos impares
diverge. Logo, a sequencia nao converge. A subsequenciaformada pelos termos
pares converge para ZERO. Logo, zero e um valorde aderencia da sequencia. Eu
afirmo que trata-se do UNICIO valor deaderencia. Para ver isso rapida e
claramente, seja "r" # 0 um realqualquer
1) se r < 0 entao "r" nao pode ser valor de aderencia porque toda asequencia,
por definicao, tem termos positivos e sabemos - por umaaplicacao direta do
teorema da permanencia do sinal - que se umasequencia converge para um valor
negativo, a partir de um certo pontotodos os seus termos devem ser negativos.
Assim, nenhum r < 0 pode servalor de aderencia desta sequencia
2) se r > 0, tome E > 0 tal que r-E > 0. Seja N1 um natural tal quen>N1, X2n <
r-E ( isto e possivel porque X2n -> 0 ) e seja N2 outronatural tal que n> N2,
X2n-1 > r+E (isto e possivel porque X2n+1 tendeao infinito ). Para N3 =
max{N1,N2} temos Xn nao esta em I=(r-E,r+E)para todo n > N3 ( pois os termos
impares estarao a direita de "I" eos termos pares estarao a esquerda de "I" ).
Isto mostra que apenas umnumero finito de termos esta neste invervalo I, vale
dizer, "r" nao evalor de aderencia de Xn.
Note que estou aqui usando o fato de que se "r" e o valor de aderenciade uma
sequencia (Xn) entao para todo E > 0 o intervalo (r-E,r+E)contem uma infinidade
de termos da sequencia. Eu diria que esteresultado e obvio ululante, mas pode
ser provado com rigor. Voce querfazer isso ?
Um AbracaoPSR, 51501091845
2009/1/15 Carlos Silva da Costa <carlossilvadacost...@gmail.com>:> No livro do
Elon (pequeno), tem uma questão assim:>> quais os valores de aderência da
sequeência (xn) tal que x2n-1=n e x2n=1/n?> Está sequência converge?> o valor
de aderência é zero, até ai tudo bem.>> Agora a sequência converge?,> qual é
minha dúvida ele me deus dois termos dela, tal que x2n-1 -> oo e x2n> vai para
zero porém é divergente (harmonica), a análise que tem que ser> feita é essa
mesma?>> []'s> Carlos
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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