Está correta a solução para o problema 2 da IMO de 2008 aqui não reproduzido?
a) Se x.y.z =1, então, um ou dois desses números (e não os três simultaneamente) terá módulo maior que um. Eles são distintos de um por hipótese. Assim, para esse número com tal módulo (ou para esses dois números), a razão entre o seu quadrado e o seu quadrado diminuído de um é superior a um. Logo, a soma dos três termos, sempre positivos, é superior a 1, o que prova "a". b) Sem perda de generalidade, x = a/b, y = b/c e z = c/a, com a, b e c pertencentes aos inteiros. a, b e c são diferentes entre si dois a dois, já que x, y, e z são distintos de 1. Então, se se provar que [a/(a-b)]^2 + [b/(b-c)]^2 + [c/(c-a)]^2 é igual a 1, acaba a questão. Tem muito braço nessa conta. Para facilitar a escrita, adotar-se-á a seguir que a.a = a2, e o dobro de a como 2a. Logo, a2/(a-b)2 + b2/(b-c)2 + c2/(c-a)2 = [a2(b-c)2(c-a)2 + b2(a-b)2(c-a)2 + c2(a-b)2(b-c)2]/(a-b)2(b-c)2(c-a)2. O numerador da razão última acima é: (a2-2ab+b2)(b2-2bc+c2)(c2-2ac+a2) = a2b2c2 + a2b2(-2ac) + a2b2a2 + a2(-2bc)c2 + a2(-2bc)(-2ac) + a2(-2bc)a2 + a2c2c2 + a2c2(-2ac) + a2c2a2 + (-2ab)b2c2 + (-2ab)b2(-2ac) + (-2ab)b2a2 + (-2ab)(-2bc)c2 + (-2ab)(-2bc)(-2ac) + (-2ab)(-2bc)a2 + (-2ab)c2c2 + (-2ab)c2(-2ac) + (-2ab)c2a2 + b2b2c2 + b2b2(-2ac) + b2b2a2 + b2(-2bc)c2 + b2(-2bc)(-2ac)+ b2(-2bc)(a2)+b2c2c2 + b2c2(-2ac) + b2c2a2. Já o denominador (é de se esperar que seja idêntico ao numerador, deseja-se) é [a2(b2-2bc+c2)(c2-2ac+a2) + b2(a2-2ab+b2)(c2-2ac+a2) + c2(a2-2ab+b2)(b2-2bc+c2) = a2b2c2 + a2b2(-2ac) + a2b2a2 + a2(-2bc)c2 + a2(-2bc)(-2ac) + a2(-2bc)a2 + a2c2c2 + a2c2(-2ac) +a2c2a2 + b2a2c2 + b2a2(-2ac) + b2a2a2 + b2(-2ab)c2 + b2(-2ab)(-2ac) + b2(-2ab)a2 + b2b2c2 + b2b2(-2ac) + b2b2a2 + c2a2b2 + c2a2(-2bc) + c2a2c2 + c2(-2ab)b2 + c2(-2ab)(-2bc) + c2(-2ab)c2 + c2b2b2 + c2b2(-2bc) + c2b2c2. Bem, com uma comparação atenciosa (não intelectual), percebe-se a igualdade desejada, o que prova "b". ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
