João, se CP=15 e PF=5 , BD=DC , CE=2EA e BF=2AF. Temos o triângulo PBC onde PB=9, PC=15 e a ceviana PD=6. Então podemos encontrar o lado BC utilizando a relação de STEWART PB^2.BD + PC^2.DC = PD^2.BC + BC.BD.DC chamando DC=x , BD=x e BC=2x temos: 81x + 225x = 36.2x + 2x.x.x -> x= Sqrt[117]. logo BC = 2Sqrt[117]. Conhecendo-se os 3 lados do triângulo PBC, sua Área é 54. Como ele é a metade do trângulo ABC então Àrea do triângulo ABC = 108. È claro que podemos encontrar os outros lados do triângulo ABC com a relação de STEWART onde AC = 9Sqrt[5] , AB = 3Sqrt[13] e BC = 2Sqrt[117]. cuja Área é 108. 2009/2/21 Paulo André <pauloacm...@gmail.com>
> Pelo que você falou, falta achar um triângulo que você saiba a área para > poder comparar (por segmentos) com a área do triângulo ABC. Note que achando > um triângulo em que se conheça os seus 3 lados o seu problema está > resolvido. > > Eis a minha solução: > Você já deve ter chegado a conclusão de que CP=15 e PF=5. (Áreas) > Tome a reta r paralela a BC passando por A. A interseçao entre r e BE é E' > e entre r e CF é F'. Assim os triângulos APE' e DPB são semelhantes (AAA) e > então: AP/PD=PE'/PB A=> 6/6=PE'/9 => PE'=9 => EE'=6. Usando a semelhança > entre AEE' e CEB (AAA) temos: AE'/E'C=E'E/EB => AE'/E'C=6/12=1/2. > Perceba que os triângulos AEP e CEE' são semelhantes (LAL) pois > AE/EC=PE/EE'=1/2 logo E'C/AP=1/2 => E'C=12. > Temos o nosso triângulo procurado que conhecemos os seus 3 lados: o > triângulo CE'P. > CE'=12, E'P=9, CP=15. Ora, mas esse triângulo é o pitagórico (semelhante ao > 3,4,5) e sua área é 12*9/2=54. > Logo a área do triangulo CPB é 54 (pois PB=E'P=9). E CPB é metade da área > do triângulo (pois AP=PD) logo a área procurada é 108. > > > Abraços, > Paulo André > 2009/2/20 João Gabriel Preturlan <jgpretur...@uol.com.br> > > *Olá, **Nehab**!* >> >> >> >> Agradeço pelo link. Um colega meu já tinha me passado outros problemas >> daquela lista e não me avisou que ela estava num arquivo da semana olímpica. >> Mas mesmo assim, tendo trabalhado em cima desse problema nos últimos dias >> consegui chegar em todas a proporções e tamanhos das cevianas assim como na >> proporção entre as áreas demarcadas (tanto é que aplicando o teorema de Ceva >> em cima das proporções que encontrei confirmo que elas estão todas >> corretas). Porém a única informação que não consigo obter é algum valor >> numérico para a área. >> >> >> >> Não sei o que me falta, alguma "sacada" talvez ou alguma relação que não >> consegui enxergar ainda. >> >> >> >> Se você ou alguém puder me ajudar, talvez com alguma idéia. Suspeito que >> estou perdendo o fato de que 2 das cevianas tem valores iguais, mas não >> consigo enxergar nada que me leve à resposta do problema e tenha relação com >> isso. >> >> >> >> Um abraço e agradeço pelo seu Tempo. >> >> *João Gabriel Preturlan* >> >> >> >> *Obs.:* O *Henrique Rennó* me perguntou se o problema está certo. De fato >> o enunciado está certo. A letra "D" que apareceu na frente do ABC foi o >> caractere "delta" que o seu computador não deve ter reconhecido. Assim, você >> pode ler "DABC" como "triângulo ABC". >> >> >> >> >> >> "A Palavra de Deus até os confins da Terra! >> >> Acesse: http://www.assembleia.org.br/ " >> >> >> >> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em >> nome de *Carlos Nehab >> *Enviada em:* quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009 21:23 >> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br >> *Assunto:* Re: [obm-l] geometria areas e cevianas >> >> >> >> Oi, João, >> >> Dê uma olhada no interessante texto da XI Semana Olimpica, escrito pelos >> professores Marcelo Mendes e Cícero Thiago em >> http://www.obm.org.br/export/sites/default/docs/segmentos.doc >> >> Você vai gostar e certamente estudando-o conseguirá resover o problema. >> >> Se tiver dificuldades, escreva outra vez... >> >> Abraços, >> Nehab >> >> João Gabriel Preturlan escreveu: >> >> Boa Tarde! >> >> >> >> Gostaria de ajuda com o seguinte problema: >> >> "Em um DABC, AD, BE, CF são concorrentes no ponto P tal que AP=PD=6, >> EP=3, PB=9 e CF=20. Qual é a área do DABC?" >> >> >> >> Desde já agradeço. >> >> >> >> *João Gabriel Preturlan* >> >> >> >> "A Palavra de Deus até os confins da Terra! >> >> Acesse: http://www.assembleia.org.br/ " >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html========================================================================= >> >> No virus found in this incoming message. >> Checked by AVG - www.avg.com >> Version: 8.0.237 / Virus Database: 270.11.1/1960 - Release Date: 02/19/09 >> 10:48:00 >> > >
