Olá colegas!
    Luiz, tirou as palavras a minha boca.
    Só complementando: há duas possibilidades para n = 2.3.5. ... . pk + 1: Ou 
ele é primo ou composto.
    Bem, se for primo não há o que fazer.
    Se for composto, nenhum dos primos 2, 3, 5, ..., pk divide n, já que o 
resto da divisão de n por cada primo é 1. Portanto, TEM que existir outro primo 
fora dessa lista fechada. Absurdo. O conjunto dos primos não é finito.
    E quanto às demonstrações de Euclides, algumas não satisfazem os níveis 
atuais de rigor. Há certos teoremas de geometria dos Elementos que não são 
conclusão lógica dos cinco famosos axiomas. Daí vários grandes matemáticos 
lançarem as suas versões axiomáticas da Geometria Euclidiana.
    Mas a demonstração da infinitude dos números primos de Euclides é 
irretocável. E pensar que séculos antes de Cristo já era um resultado 
conhecido...
    José CORINO
    
  ----- Original Message ----- 
  From: luiz silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, July 02, 2009 6:09 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos


        Ola Pessoal,

        Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um 
primo menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos 
daquele conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que 
divida este número 

        Vamos supor que o conjunto de primos é finito 
{2,3,5,....p1,p2,........pk}
        Agora, vamos imaginar um número n, tal que 

        n = 2.3.5.....p1.p2. .... .pk + 1

        Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um 
outro número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2. .... .pk + 1. 


        --- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes 
<hfernande...@gmail.com> escreveu:


          De: Hugo Fernando Marques Fernandes <hfernande...@gmail.com>
          Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
          Para: obm-l@mat.puc-rio.br
          Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25


          Henrique.

          Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de 
Euclides, para que possamos discuti-la de forma mais consistente?

          Abraços.

          Hugo.


          2009/7/2 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>




            2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> 


              Oi Henrique e obm-l,

              2009/7/2 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>:

              > No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides 
existem infinitos
              > primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um 
primo maior que
              > todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, 
gerando uma
              > inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou 
seja, são
              > infinitos.

              Isso se chama "prova por (redução ao) absurdo", e consiste numa 
das
              ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as 
demonstrações
              são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua 
sendo) um
              dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma 
das
              demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem 
o que
              você vai dizer.

            No livro "Os Problemas do Milênio" do autor Keith Devlin (que o 
Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a 
demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. 
Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de 
entender.

            Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por 
contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o 
novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que 
pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens 
de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.





              > Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
              > uma falha do teorema.

              Justamente, isso se chama a "hipótese de absurdo". E é justamente 
por
              ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
              terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
              Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
              falsas ou verdadeiras, existindo uma "terceira possibilidade", mas
              isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em 
matemática
              (mesmo que talvez devesse sê-lo !)


              > Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
              > primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi 
demonstrado por
              > Euler e converge para infinito.

              Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se 
fossem
              finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
              raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
              harmônica divergiria, o que não é o caso !

              Abraços lógicos,
              --
              Bernardo Freitas Paulo da Costa


              
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              Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
              http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
              
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            -- 
            Henrique


       


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