Ola Aline,
A demonstracao direta costuma esconder a "essencia da coisa". E
necessário voce visualiza-la antes de monta-la. No caso particular sob
consideracao, IMAGINE o ponto medio entre "a" e "b", isto e, imagine
c=(a+b) / 2. Vai chegar um momento que os Yn's ESTARAO e PERMANECERAO
a direita de "c" e os X's ESTARAO e PERMANECERAO a esquerda de "c".
Quando isso ocorre teremos que Xn < Yn ...
Rigorosamente falando, podemos escrever assim :
Seja E = (b - a) / 2. Entao E > 0, pois b > a. Logo, por definicao de
LIMITE, temos que :
1) Existe um natural N1 tal que n > N1 implica Xn pertence a (a - E, a
+ E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N1 tal que n > N1 implica Xn <
a+E = (a+b) /2, isto e, n > N1 => Xn < (a+b) / 2
2) Existe um natural N2 tal que n > N2 implica Yn pertence a
(b-E,b+E). Como E=(b-a)/2 segue que
existe N2 talo que n > N2 implica Yn > b-E = (a+b) /2
Tomando N3 = max{N1,N2} vemos que para n > N3 implica que Xn < (a+b)/2
< Yn, ou seja , para todo natural n > N3 teremos que Xn < Yn, que é o
que queriamos demonstrar.
Um abraco a todos !
PSR,21807091207
Como a < b, seja E = (b - a) / 2. Entao E > 0. Por definicao existe
um natural No tal que N > No implica que Yn pertence a (b-E,b+E), vale
dizer,
2009/7/6 Aline Correa <alineuerj1...@gmail.com>:
> Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise Real
> I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém poderia me
> ajudar?
> Segue abaixo as questões:
>
> Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 pertence N tal
> que n > n0 => xn < yn.
>
> Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E > 0 dado,
> existe n0 pertence N tal que m, n > n0 => |xm - xn| < E.
>
> Desde já grata.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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