Ola Diogo,
 
1) Repare que se x for par, x-1 é ímpar, o que torna a equação impossível. Se x 
for ímpar, o outro termo será ímpar, o que tb torna a igualdade impossível, 
visto que o único fator primo 
dela é 2. 
 
2) (x+1)(x-1)=2^n 
 
x+1 = 2^a
x-1 = 2^b
a+b=n
 
2^a -1 = 2^b+1
 
2^b=2(2^(a-1) - 1)

O segundo termo só poderá ter 2 como fator. Como 2^(a-1) - 1 é sempre ímpar, 
então 2^(a-1)- 1 = 1 , pois para qqer outro ímpar, a igualdade é impossível.
 
a= 2 e, assim, b=1 ; n=3 e x=3
 
3)  x^m-1 =P^n
 
(x-1) (x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1) = P^n
 
Se P é ímpar, então :
 
(x-1)(x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1) 
 
x-1 é par, o que torna impossível a igualdade.
 
Se x for par, então x-1 ímpar e (x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1) é ímpar para qqer 
paridade de m
 
Se P é par(2), então n=0, x=2 e m=1
 
Para os outros casos :
 
a)Para n=1 (m=1 é "sem graça")
 
x-1=1, pois o único fator é P e  x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1>x-1; x= 2 e P=2^m-1
 
 
b) Para n>1
 
Então P divide (x-1) e divide (x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1)
 
x=1 (mod p) e, substituindo em (x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1)
 
(1+1+......+1) = 0 mod P
 
A qde de termos 1 é m. Então, P deve dividir m. Além disso, se x-1 = P^a e
x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1 = P^b,  a+b=n
 
Como x-1 é menor que x^(m-1) + x^(m-2) +.....+ 1, então 
mdc(x, x^(m-1) + x^(m-2) +...+ 1)= P^a
 
Novamente,
 
x=1 (mod P^a)
 
e, analogamente, m=0 mod P^a , Ou seja, m = kP^a
 
Não sei se tem mais alguma análise para se fazer.
 
Abs
Felipe
--- Em qui, 10/9/09, Diogo FN <diog...@yahoo.com.br> escreveu:


De: Diogo FN <diog...@yahoo.com.br>
Assunto: [obm-l] Teoria dos Números
Para: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 10 de Setembro de 2009, 17:16






Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões.
 
01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n
02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1
03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n, p 
são naturais e p é primo.
 
Agradeço a todos.


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