Olá a todos, caro Sérgio a resolução que está no livro do Honsberger é imperdível. Ei-la: O ponto K onde a corda AB corta a reta r é invariável, já que A e B e r são fixos no plano. Assim o produto PK x KQ é constante e igual ao produto AK x KB. Nessa condição a soma PK + KQ é mínima quando as parcelas forem iguais ( isso se deve a clássica desigualdade MG <= MA ). Assim K é o ponto médio de PQ, o que implica que o centro O da circunferência procurada esta na perpendicular baixada por K à reta r, está também na mediatriz da corda AB. A intersecção dessas retas dá-nos o centro O.Está construído e provado. É claro que uma figura ajuda muito. Na minha humilde opinião essas resoluções sintéticas ( ou quase ) são de suma beleza. Um abraço do colega Osmundo Bragança.
-----Mensagem original----- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Sergio Lima Netto Enviada em: sexta-feira, 25 de setembro de 2009 10:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Falando em construções geométricas.. Caro Osmundo, Obrigado pelo problema e pela fonte do mesmo. Antes que os verdadeiros mestres do desenho geometrico desta lista acordem, coloco minha resposta obtida por geometria analitica! Sejam: . "teta" o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . "I" o ponto de intersecao de AB com r; . "M" o ponto medio de AB; . "m" a mediatriz de AM; . "d" a distancia de I ao ponto M medio de AM; Resposta: o centro "O" da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Abraco, sergio On Thu, 24 Sep 2009 11:28:15 -0300, Osmundo Bragança wrote > Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito > para compartilhar um lindo problema que está no livro do > > do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World > . > > Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do > plano. > > Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos > pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada > > pela reta na circunferência seja mínima. > > Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. > > Um abraço. > > Osmundo Bragança. > > -- > This message has been scanned for viruses and > dangerous content by MailScanner, and is > believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. ========================================================================= Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
