rapaz.. bem na hora...
obrigado por ter avisado...
valeu pela nova solução dos problemas.
obrigado pela atenção.
Abraços
Diogo FN
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De: Osmundo Bragança <barz...@dglnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 27 de Setembro de 2009 19:08:00
Assunto: [obm-l] Respostas erradas!
Olá colegas da lista e, particularmente, Diogo F.N.
Caro Diogo F.N., há alguns dias respondi três perguntas que você mandou para a
nossa lista. Infelizmente dei uma resposta errada para
o problema nº 01. O problema dizia: sejam a e b inteiros tais que (a , b )=1 ,
isto é, a e b são relativamente primos. Pede-se provar que
( a + 2b , b + 2a ) = 1 ou 3.
Seja d o mdc entre a + 2b e b + 2a . Assim d I a + 2b e d I b + 2a . Portanto
d I ( a + 2b ) + ( b + 2a ) = 3 ( a + b ) e daí
d I ( 3a + 6b ) – ( 3a + 3b ) = 3b . Analogamente d I 3a .
Pelo teorema de Bézou existem inteiros x e y tais que a x + b y = 1 e,
portanto, (3a) x + (3b) y = 3. Agora se d I 3a e dI 3b então
d I 3 , assim d é igual a 1 ou 3 .
Só percebi meu erro quando passei o problema para meus alunos e tentei
resolve-lo no quadro negro.
Quanto ao segundo problema também há uma solução muito melhor do que a que eu
mencionei.
Provar que, sendo k um inteiro, k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1 é um quadrado
perfeito.
De fato, vamos fatorar a expressão dada da seguinde forma:
k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1= [ k ( k + 3 ) ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ] + 1 =
[ k ^2 + 3k ] [ k^2 + 3k + 2 } = [(k^2 + 3k + 1 ) – 1 ] [ (k^2 + 3k + 1 ) + 1 ]
+ 1 =
(k^2 + 3k + 1 )^2 – 1 + 1 = (k^2 + 3k + 1 ) ^2. Expressão que exibe o quadrado
perfeito.
Caro Diogo queira desculpar minha falha.
Um abraço
Osmundo Bragança
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