Valeu Ralph Vou refazer para internalizar essa explicação. Muito obrigado pela atenção de sempre.
Abs 2009/11/1 Ralph Teixeira <[email protected]> > Oi, Walter. Voce estah usando x=n? > > Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porque > tem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) tem > uma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para n > impar. > > O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse > (-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto da > formula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcao > quadratica em n. > > Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n. > > Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n) > sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer. > > Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas, > qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz daria > sempre algo do tipo: > f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos que > depende linearmente de n) > Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh uma > funcao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n) > se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh alguma > funcao quadratica. > > Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- mas > esta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos pares > f tem OUTRA formula quadratica. > > Abraco, > Ralph > > P.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para > 0<x<1, e mesmo assim ha uma funcao f(x) definida nos reais que > coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz as > condicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem as > condicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voce > achou **nos inteiros**. > > 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[email protected]>: > > Muito obrigado, Prof Ralph e colegas > > > > Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse > > resultado...meio feio(rs)) > > > > Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia > > considerado. > > > > Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os > > ímpares? > > > > Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou ímpar? > > A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... > > Creio estar confuso nessa observação final do Ralph > > > > Obrigado mais uma vez > > > > > > 2009/10/31 Ralph Teixeira <[email protected]> > >> > >> Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. > >> > >> Entao vejamos. Como: > >> f(x)+f(x+1)=x^2 > >> f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 > >> > >> Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) > >> > >> Isto significa que: > >> f(17)=f(15)+31 > >> f(19)=f(17)+35 > >> f(21)=f(19)+39 > >> ... > >> f(99)=f(97)+195 > >> > >> Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39+....+195). Dentro dos > >> parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo > >> f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. > >> > >> Agora eh soh terminar as contas. > >> > >> Abraco, > >> Ralph > >> > >> P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um > >> polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos > >> pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). > >> > >> 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[email protected]>: > >> > Amigos, > >> > > >> > Uma questão dizia: > >> > > >> > f(x) + f(x+1) = x² > >> > f(x) = 10001 > >> > Calcule f(15) > >> > > >> > Minha solução: > >> > > >> > Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como > >> > funções > >> > polinomiais de grau 2. > >> > > >> > Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 > >> > > >> > Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² > >> > > >> > Igualando os coeficientes, temos: > >> > > >> > 2a = 1. Logo a = 1/2 > >> > 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 > >> > > >> > a+b+c=0. Então c = 0 > >> > > >> > A função f(x) = x²/2 - x/2 > >> > > >> > Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 10000 = 100² > >> > > >> > Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 > >> > > >> > VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² > >> > > >> > DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. > >> > > >> > Alguma ajuda, por favor... > >> > > >> > Abraços > >> > -- > >> > Walter Tadeu Nogueira da Silveira > >> > > >> > > >> > >> > ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > ========================================================================= > > > > > > > > -- > > Walter Tadeu Nogueira da Silveira > > http://www.professorwaltertadeu.mat.br > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
