Achei uma maneira meio "complicada" de fazer o problema:

Somar 1 nao altera a "integridade" (:P) do numero:

(n^3+1)/(mn-1) +1 = (n^3+mn)/(mn-1) = n (n^2+m)/(mn-1)

Mas n e mn-1 sao primos entre si. Entao isto eh inteiro sse
(a) (n^2+m)/(mn-1) for inteiro, sse
(b) m(n^2+m)/(mn-1) inteiro (lembra que m e mn-1 sao primos entre si), sse
(c) m(n^2+m)/(mn-1) -n = (m^2+n)/(mn-1) for inteiro.

Olhando as linhas (a) e (c) acima, vemos que (m,n) "serve" se e somente se
(n,m) serve tambem. Assim, daqui para a frente, vou procurar apenas as
solucoes com m>=n (as outras vao ser obtidas invertendo a ordem).

Entao olhe para (n^2+m)/(mn-1), agora pensando que m>=n. Voce nao tem a
sensacao de que o denominador eh grande demais? Afinal, eh m.n versus n^2,
os outros termos sendo "de ordem menor"...

Formalmente, tomando m=n+c (com c>=0), temos:

D=mn-1=n^2+cn-1
N=n^2+m=n^2+n+c
D-N=cn-n-c-1=(c-1)(n-1)-2

Lembre que n>=1 e c>=0! Assim, em geral, temos D>N>0 e N/D nao poderah ser
inteiro. Bom, as unicas excecoes seriam os casos em que (c-1)(n-1)<=2, isto
eh:

CASO 1: n=1
CASO 2: n=2 e c=0,1,2,3
CASO 3: n=3 e c=0,1,2

Estes casos sao bem mais simples, e geram as solucoes que o Adalberto jah
tinha achado. Nao ha outras (lembrando que para cada solucao (a,b) destes
casos existe a solucao (b,a) correspondente).

Abraco, Ralph.

2010/4/23 Adalberto Dornelles <aadornell...@gmail.com>

> Oi Marco,
>
> > Alguem poderia ajudar com ideias para a resolução da questão:Determinar
> > todos os pares de inteiros positivos(m,n) tais que (n^3+1)/(mn-1) seja um
> > inteiro?Ate agora eu observei apenas que  m=n=2 satisfaz e os pares (2,1)
> e
> > (1,2), tambem.Agradeço antecipadamente.
>
> Achei (por força bruta) os seguintes pares com m,n < 1000
> a = (n^3+1)/(mn-1)
>
>    m    n     a
>     1     2     9
>     1     3    14
>     2     1     2
>     2     2     3
>     2     5    14
>     3     1     1
>     3     5     9
>     5     2     1
>     5     3     2
>
> Observe que m e n são primos. Talvez isso ajude na resolução...
>
> Abraço,
> Adalberto

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