Nem sei o q dizer diante de tanta satisfação.Para o Adalberto e para o
Ralph,obrigado!
Date: Fri, 23 Apr 2010 12:50:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Números inteiros
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Achei uma maneira meio "complicada" de fazer o problema:
Somar 1 nao altera a "integridade" (:P) do numero:
(n^3+1)/(mn-1) +1 = (n^3+mn)/(mn-1) = n (n^2+m)/(mn-1)
Mas n e mn-1 sao primos entre si. Entao isto eh inteiro sse
(a) (n^2+m)/(mn-1) for inteiro, sse
(b) m(n^2+m)/(mn-1) inteiro (lembra que m e mn-1 sao primos entre si), sse
(c) m(n^2+m)/(mn-1) -n = (m^2+n)/(mn-1) for inteiro.
Olhando as linhas (a) e (c) acima, vemos que (m,n) "serve" se e somente se
(n,m) serve tambem. Assim, daqui para a frente, vou procurar apenas as solucoes
com m>=n (as outras vao ser obtidas invertendo a ordem).
Entao olhe para (n^2+m)/(mn-1), agora pensando que m>=n. Voce nao tem a
sensacao de que o denominador eh grande demais? Afinal, eh m.n versus n^2, os
outros termos sendo "de ordem menor"...
Formalmente, tomando m=n+c (com c>=0), temos:
D=mn-1=n^2+cn-1
N=n^2+m=n^2+n+c
D-N=cn-n-c-1=(c-1)(n-1)-2
Lembre que n>=1 e c>=0! Assim, em geral, temos D>N>0 e N/D nao poderah ser
inteiro. Bom, as unicas excecoes seriam os casos em que (c-1)(n-1)<=2, isto eh:
CASO 1: n=1
CASO 2: n=2 e c=0,1,2,3
CASO 3: n=3 e c=0,1,2
Estes casos sao bem mais simples, e geram as solucoes que o Adalberto jah tinha
achado. Nao ha outras (lembrando que para cada solucao (a,b) destes casos
existe a solucao (b,a) correspondente).
Abraco, Ralph.
2010/4/23 Adalberto Dornelles <aadornell...@gmail.com>
Oi Marco,
> Alguem poderia ajudar com ideias para a resolução da questão:Determinar
> todos os pares de inteiros positivos(m,n) tais que (n^3+1)/(mn-1) seja um
> inteiro?Ate agora eu observei apenas que m=n=2 satisfaz e os pares (2,1) e
> (1,2), tambem.Agradeço antecipadamente.
Achei (por força bruta) os seguintes pares com m,n < 1000
a = (n^3+1)/(mn-1)
m n a
1 2 9
1 3 14
2 1 2
2 2 3
2 5 14
3 1 1
3 5 9
5 2 1
5 3 2
Observe que m e n são primos. Talvez isso ajude na resolução...
Abraço,
Adalberto
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