2010/6/16 Luiz Paulo <paulolui...@yahoo.com.br> > Questão2 (Polônia-92) > Determine todas as funções reais de variáveis reais que obedecem: > f(x+y)-f(x-y)=f(x).f(y) > > O que eu fiz: > 1)x=y=0 implica em f(0)=0 > 2)x=y=a/2 implica f(a)-f(0)=[f(a/2)]^2 implica f(a)>=0 para todo a real > 3) Tomando x=0, teremos f(0+y)-f(0-y)=f(0).f(y) implica f(y)=f(-y), logo f é > par e consequentemente f é não injetora no conjunto dos reais. > Aí eu pareí.....
Bom, eu continuei daonde você deixou. Note que f(4x) = f(2x)^2 = f(x)^4. Vamos calcular f(3x), deve dar pra fazer de várias formas. f(3x + x) - f(3x - x) = f(3x)f(x) f(4x) - f(2x) = f(3x)f(x) f(x)^4 - f(x)^2 = f(3x)f(x) f(2x + x) - f(2x - x) = f(2x)f(x) f(3x) - f(x) = f(x)^3 f(3x) = f(x) + f(x)^3 Agora multiplique essa última por f(x) dos dois lados, e você verá que f(x)^4 - f(x)^2 = f(3x)f(x) = (f(x) + f(x)^3)f(x) = f(x)^2 + f(x)^4 => f(x)^2 = 0 => f(x) = 0. Equações funcionais demandam bastante confiança... e às vezes um bocado de trabalho... vide o problema de Equações funcionais da última ITYM : http://sites.google.com/site/wwwitymorg/official-2009/Problems-ITYM2009.pdf?attredirects=0 Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
