Como já foi tradição nesta lista, vou colocar os enunciados da Olimpíada do Cone Sul deste ano.
*************************** Problema 1 Pedro tem que escolher duas frações irredutíveis, cada uma com numerador e denominador positivos, tais que: • A soma das duas frações seja igual a 2. • A soma dos numeradores das duas frações seja igual a 1000. De quantas maneiras Pedro pode fazer isso? Problema 2 Marcam-se em uma reta 44 pontos, numerados 1, 2, 3, . . . , 44 da esquerda para a direita. Vários grilos saltam na reta. Cada grilo parte do ponto 1, salta por pontos marcados e termina no ponto 44. Além disso, cada grilo sempre salta de um ponto marcado a outro marcado com um número maior. Quando todos os grilos terminaram de saltar, notou-se que para cada par i, j, com 1 <= i < j <= 44, há um grilo que saltou diretamente do ponto i para o ponto j, sem pousar em nenhum dos pontos entre eles. Determine a menor quantidade de grilos para que isso seja possível. Problema 3 Recortar um polígono convexo de n lados significa escolher um par de lados consecutivos AB,BC do polígono e substitui-los por três segmentos AM, MN e NC, sendo M o ponto médio de AB e N o ponto médio de BC. Em outras palavras, corta-se o triângulo MBN e obtém-se um polígono convexo de n + 1 lados. Seja P6 um hexágono regular de área 1. Recorta-se P6 e obt´em-se o polígono P7. Então recorta-se P7, de uma das sete maneiras possíveis, e obtém-se o polígono P8, e assim sucessivamente. Prove que, independentemente de como sejam feitos os recortes, a área de Pn é sempre maior do que 2/3. Problema 4 Pablo e Sílvia jogam em um tabuleiro 2010×2010. Primeiro Pablo escreve um número inteiro em cada casa. Feito isso, Sílvia repete tantas vezes quanto quiser a seguinte operação: escolher três casas que formem um L (um triminó em formato de L) e somar 1 a cada número dessas três casas. Sílvia ganha se fizer com que todos os números do tabuleiro sejam múltiplos de 10. Demonstre que Sílvia sempre pode escolher uma sequência de operações com as quais ela ganha o jogo. Problema 5 O incírculo do triângulo ABC toca os lados BC, CA e AB em D, E e F, respectivamente. Sejam Wa, Wb e Wc os circuncírculos dos triângulos EAF, DBF e DCE, respectivamente. As retas DE e DF cortam Wa em Ea != E e Fa != F, respectivamente. Seja rA a reta EaFa. Defina rB e rC de modo analogo. Prove que as retas rA, rB e rC determinam um triângulo cujos vértices pertencem aos lados do triângulo ABC. Problema 6 Determine se existe uma sequência infinita a0, a1, a2, a3, . . . de inteiros nao negativos que satisfaz as seguintes condições: (i) Todos os numeros inteiros nao negativos aparecem na sequência uma única vez; (ii) A sequˆencia bn = an + n, n ≥ 0, é formada por todos os numeros primos, cada um aparecendo uma única vez. *************************** -- /**************************************/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com />> Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
