Sauda,c~oes,
Seria legal conhecer outras soluções dos membros da lista e da própria OBM. Seguem outra solução de ND e correções de APH. []'s Luis ===== Lemma 1: In every triangle: Lemma 1: GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c^2)/9 - 4Rr Lemma 2: If 2b = a + c [: b = a+d, c = a+2d ] ==> ac = 6Rr L1 /\ L2 ==> 9GI^2 = b^2 - ac = (a+d)^2 - a(a+2d) = d^2 ==> GI = d/3 APH ====== Dear Tuan, very good! Another proof with vectors: We have GA + GB + GC = 0 a.IA + b.IB + c.IC = 0 or (a + b + c).IG + a.GA + b.GB + c.GC = 0 or 3b.IG + (a - b)GA + (c - b)GC = 0 or 3b.IG = d.(GA - GC) = d.CA and hence |IG| = |CA|.d/3b = d/3. Best regards Nikos Dergiades From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Date: Thu, 15 Jul 2010 20:06:14 +0000 Sauda,c~oes, Três soluções de um outro grupo. []'s Luis ====== 1) > Dear Luis, > Let b = a + d, c = b + d, or a + c = 2b > then s = (a + b + c) / 2 = 3b/2, s - b = b/2 and since > s.r = (s - b) rb we get that rb = 3r > where r, rb are the radi of incircle and B_excircle. > > The line IG has equation in barycentrics > (b - c)x + (c - a)y + (a - b)z = 0 or > -x + 2y - z = 0 and meets the line BC at D (0 : 1 : 2) > which means that BD/DC = 2 and the line IG is > parallel to AC. If M is the midpoint of AC and the > line BI meets AC at J then > CJ = ab/(a + c) = a/2 > MJ = b/2 - a/2 = d/2 and > GI = 2MJ/3 = d/3. > > The Nagel point Na is known that lies on line IG > and if BNa meets AC at K then > AK = s - c = 3b/2 - c and > KM = AM - AK = b/2 - (3b/2 - c) = c - b = d > Hence NaG = 2KM/3 = 2d/3 > > Best regards > Nikos Dergiades ====== 2) Dear Luis Lemma 1: In every triangle: GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c2)/9 - 4Rr Lemma 2: If 2b = a + c [: a = b+d, c = b+2d ] ==> ac = 6Rr L1 /\ L2 ==> 9GI^2 = b^2 - 3ac = (c-a)^2 ==> 3GI = c-a = d ==> GI = d/3 APH ====== 3) Dear Luis and Nikos, We can solve the problem by construction triangle ABC (b = a+d = c-d) as following: Choose b = AC as one segment. X as any point on segment AC and CX = d. X1 = reflection of X in C X2 = reflection of X in midpoint of AC B = intersection of two circles centered at C passing X2 and centered at A passing X1 Y1 = midpoint of BX1 Y2 = midpoint of BX2 A1 = midpoint of BC C1 = midpoint of AB I = intesection of AY1 and CY2 G = intesection of AA1 and CC1 >From this construction: GI//AC and GI = 2/3*A1Y1 = 2/3*1/2*CX1 = 1/3*CX1 = d/3 Best regards, Bui Quang Tuan From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Date: Tue, 13 Jul 2010 21:51:15 +0000 Muito ´´bonito´´ mesmo.Seria muito interessante ver soluções diferentes postadas aqui neste fabuloso espaço. Date: Tue, 13 Jul 2010 14:36:06 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica To: obm-l@mat.puc-rio.br Estou enviando, pois achei o problema muito "bonito". Abs Felipe --- Em ter, 13/7/10, Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com> escreveu: De: Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com> Assunto: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Para: "OBM Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Terça-feira, 13 de Julho de 2010, 13:57 Você está apenas comentando com agente pois achou ele legal ou você quer ajuda na resolução? Thiago Date: Mon, 12 Jul 2010 10:48:57 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Geometria Olimpica To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, Segue problema da OBM : Os lados de um triângulo qualquer estão em uma P.A de razão r. Calcular a distância do incentro ao baricentro deste triangulo, em função de r. Abs Felipe O INTERNET EXPLORER 8 DÁ DICAS DE SEGURANÇA PARA VOCÊ SAIBA MAIS! FIQUE MAIS PROTEGIDO ENQUANTO FAZ DOWNLOADS INSTALE GRÁTIS O INTERNET EXPLORER 8. LEVE SEU MESSENGER PARA ONDE VOCÊ ESTIVER PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO FAZER. _________________________________________________________________ CONVERSE COM SEUS AMIGOS E OS VEJA PELA WEBCAM NO MESSENGER. CLIQUE AQUI E VEJA COMO. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/84?product=2&ocid=WLCRM:Live:Hotmail:Tagline:senDimensao:CONVERSECO85:-
