2010/9/15 Daniel da Silva Nunes <klein...@globo.com>: > Bernardo, > > Creio que não seja necessária a recorrência. Tanto a = m + raiz(n) quanto b > = m - raiz(n) têm o mesmo polinomio irredutível (ok, minimal!) h sobre Q, > que se fatora como (x - a)*(x - b) na extensão F = Q(raiz(n)). Isto é, têm > mesma multiplicidade 1. Se, portanto, a tem multiplicidade q em p(x), > forçosamente a multiplicidade de b em p(x) deve ser q. > > Não há como haver outra fatoração em Q[x] de p com raízes a ou b "sobrando". > Se p(x) = f(x)*g(x), fatoração racional, com f(a) = 0, então h divide f e a > multiplicidade de a em f é a mesma de b em f, pelo mesmo argumento acima. É > só pensar na fatoração em Q[x], não em Q(raiz(n))[x], pois p(x) é racional. Oi Daniel!
Esse argumento é "mais ou menos" uma recorrência no grau do polinômio, não ? Enfim, eu acho que fica mais claro se der para evitar o "pelo mesmo argumento acima" (que a gente ainda está provando!) e fazer por indução. > []s, > > Daniel abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa > Em 15 de setembro de 2010 08:45, Bernardo Freitas Paulo da Costa > <bernardo...@gmail.com> escreveu: >> >> Daniel: eu teria dito um pouquinho diferente de você. >> >> Note que você resolveu o "grande" problema: se m + n*raiz(2) é zero de >> p(x), então m - n*raiz(2) também. (o que decorre da parte dos >> polinômios minimais). Mas para fazer a parte "multiplicidade", eu >> teria feito por recorrência, ou seja, já que h(x) divide p(x), olhamos >> para as raízes de (p/h)(x) e continua-se o processo. O que eu não vejo >> no argumento final é como garantir que não tem nenhum "fator a mais" >> de um lado ou do outro, sem repetir o argumento da divisibilidade; >> dito de outra forma, não entendi porque de "h | p" decorre que a >> multiplicidade (em p) das raízes de h é a mesma. >> >> abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> >> 2010/9/15 Daniel da Silva Nunes <klein...@globo.com>: >> > Olá Pedro, >> > >> > Seja F o corpo dos quocientes de polinomios em raiz(n) com coeficientes >> > racionais. Na prática, coisas do tipo (a + b*raiz(n))/(c + d*raiz(n)), >> > com >> > a, b, c e d racionais. F é extensão dos racionais Q. >> > >> > Vou chamar de p(x) o polinômio original. Ele está em Q[x], conjunto dos >> > polinômios com coeficientes racionais. Repare que a = m + raiz(n) está >> > em F. >> > Como p(a) = 0, o polinômio irredutível sobre Q de a divide p, dada sua >> > unicidade. É fato que a extensão de Q sobre raiz(n) coincide com a >> > extensão >> > de Q sobre a, e ambas têm grau 2, visto que o polinomio irredutível >> > sobre Q >> > é x^2 - n no primeiro caso e h(x) = (x - m)^2 - n no segundo. >> > >> > Recaptulando, h divide p. Como h(x) = (x - m - raiz(n))*(x - m + >> > raiz(n)), o >> > grau de a multiplicidade de m - raiz(n) e m + raiz(n) tem que ser o >> > mesmo. >> > >> > []s, >> > >> > Daniel >> > >> > Em 14 de setembro de 2010 21:03, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> >> > escreveu: >> >> >> >> Caros amigos, >> >> >> >> >> >> Peço-lhes socorro na questão seguinte, onde uso R(n) para indicar a >> >> raiz >> >> quadrada de n. >> >> >> >> >> >> "Sejam m e n números inteiros (n>0) e R(n) irracional. Mostrar que a >> >> equação algébrica, de coeficientes racionais, >> >> que admite a raiz m + R(n), com multiplicidade p, admite também a raiz >> >> m - >> >> R(n) com a mesma >> >> multiplicidade." >> >> >> >> Obrigado! >> >> Pedro Chaves ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
