oi Fernando, Você tem razão. A solução está toda incorreta.
Fazendo uma rotação em torno da origem dos eixos cartesianos, de modo a alinhar o novo eixo y' das ordenadas com a reta diretriz, o foco dado continua na origem e a diretriz dada passa a ser descrita por x' = 5. Esta rotação é de um ângulo Q com linhas trigonometricas tg Q = 3/4, sen Q = 3/5, cos Q = 4/5. Sabendo que a distância da diretriz ao foco (assumindo que a diretriz dada corresponde ao foco na origem) é (b^2/c) (*), tem-se: e = c/a = 1/2 b^2/c = 5 De onde se conclui (com um algebrismo mínimo) que a = 10/3, b = 5.sqrt(5)/3 e c = 5/3. Logo, no novo sistema de coordenadas: o centro da elipse está em x' = -c = -5/3, o outro foco está em x' = -2c = -10/3 e a outra diretriz é descrita por x' = -2c - b^2/c = -25/3. Voltando para o sistema de coordenadas original, o outro foco está na posição x0 = -10/3 sen Q = -2 y0 = -10/3 cos Q = -8/3 e a outra diretriz (paralela à primeira, como você bem observou) é descrita por 3x + 4y = d, onde d é dado por d = 3((-25/3)/sen Q) = -125/3. Vou corrigir esta solução. Obrigado por apontar este problema no material. Abraço, sergio (*) Se você quiser evitar esta fórmula, pode usar a definição de excentricidade (razão da distância de um ponto da cônica para o foco e da distância do mesmo ponto para a diretriz correspondente ao mesmo foco). Assim, se P = (x',y') é um ponto da cônica no novo sistema de coordenadas, tem-se: sqrt(x'^2 + y'^2)/|x'-5| = 1/2 e assim 3x'^2 + 10x' + 25/3 - 25/3 + 4y'^2 = 25 de modo que 3(x' + 5/3)^2 + 4y'^2 = 100/3 de onde se conclui que a = 10/3, b = 5sqrt(3)/3, c = 5/3 e o centro da elipse está em (-5/3,0). A partir daqui os passos são os mesmos do desenvolvimento anterior. On Thu, 11 Nov 2010 20:16:53 -0200, Fernando Oliveira wrote > Sergio, > > Estou confuso quanto à solução da 5ª questão de álgebra de 1989/1990. Nela é > afirmado que "A segunda diretriz é ortogonal à primeira", mas as duas > diretrizes de uma elipse não são paralelas? > > Fernando > > -- > This message has been scanned for viruses and > dangerous content by MailScanner, and is > believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
