Primeiro os parabéns para Paulo Argolo e Johann Dirichlet gostei
da abordagem de vcs do problema ... mataram com elegância ...

Copiando as ideias do Paulo e Johann:

Sendo P(k) = k.(k+1).(k+2).(k+3) ... (k+n-1)
Ou seja, o produto dos n elementos de meu polinômio ...

eu poderia escrever P(k) da seguinte forma:

P(k) = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k)

multiplicando P(k) pelo fatorial de k, temos

P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k).k!

P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k).(k).(k-1).(k-2)(k-3) ... 1

P(k).k! = (k+n-1)!.k

P(k) = ( (k+n-1)!/k! ) k

P(k) = ( (k+n-1)!/(k(k-1)!.n!) ) k.n!

P(k) = ( (k+n-1)!/((k-1)!.n!) ) .n!

lembrando da formula da combinação:
C = n!/(n-p)!.p!
Combinação de "n"     'p'    a     'p' ...

P(k) = Combinação de "k+n-1" 'n' a 'n'  vezes n!

P(k) = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! } X n!

Sendo p = d.Q + resto

para k diferente de 1 , temos

Q = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! }

d = n!

e o resto igual a zero ...

Responder a