Legal! 2011/1/9 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
> Aprendi esta ideia num problema de uma IMO: > > -- (1,1,1) eh solucao. > -- Pense na equacao como uma quadratica em x: x^2-(3yz)x+(y^2+z^2)=0. > A soma das raizes eh 3yz. Entao, se x=a eh uma solucao, a outra eh > x=3yz-a. > -- Em outras palavras, o que mostramos eh que se (x,y,z) eh solucao, > entao (3yz-x,y,z) tambem eh (o que poderia ser verificado > diretamente). > -- Por simetria, (x,3xz-y,z) e (x,y,3xy-z) tambem servem. > -- Isso gera uma famila de solucoes: > (1,1,1) -> (3.1.1-1,1,1)=(2,1,1) -> (2,3.1.1-1,1)=(2,5,1) -> > (2,5,3.2.5-1)=(2,5,29) -> (3.5.29-2,5,29) -> ...-> > -- Note que na construcao eu escolhi sempre trocar o MENOR dos numeros > (x,y,z). Entao a cada passo a soma da terna passou de x+y+z para > (3yz-x)+(y+z), onde x eh o menor dos tres numeros. Como claramente > 3yz-x>x (pois 3yz>=3.x.1>2x), entao a soma eh estritamente crescente, > e as ternas sao todas diferentes. > > Abraco, Ralph. > > 2011/1/9 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > > corrigindo: x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz > > > > ________________________________ > > From: marconeborge...@hotmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Subject: [obm-l] Infinitas soluções(números inteiros) > > Date: Sun, 9 Jan 2011 02:10:07 +0000 > > > > mostre q a equação x^2 + y^2 +z^2 = xyz tem infinitas soluções onde x,y,z > > são números inteiros. > > Agradeço a todos q ajudarem. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= > -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
