Porque se f for derivável em algum a de R^n, então todas as suas derivadas direcionais existem em a e são dadas por grad f(a) . u, onde grad f(a) designa o gradiente de f em a, . designa produto escalar e u é o vetor unitário em uma dada direção. Se uma das derivadas direcionais não existir, então, por contraposição, segue-se que f não é derivável em a. Artur
From: [email protected] To: [email protected]; [email protected] Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável Date: Mon, 7 Mar 2011 20:30:13 +0000 Brigadão Marcelo, Fiquei travado nesse exercício um tempão. Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro. Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última coisinha, sem abusar: Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica que a função não diferenciável? Desde já agradeço. Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável From: [email protected] To: [email protected] CC: [email protected] Olá, Samuel, Se t != 0, temos: h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|) Para t>0, temos: |tx| = t|x| => h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|) Para t<0, temos: |tx| = -t|x| => h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|) Assim: h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0. Para t != 0, temos: h'(t) = lim{k->0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k->0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) - t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k->0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|) Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor |x|.g(x/|x|). Abraços, Salhab 2011/3/7 Samuel Wainer <[email protected]> Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 -> R por: f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0 0 para x = 0 Se x pertence à R^2 e h: R -> R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é diferenciável. consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l) existe para t quaquer não foi trivial. Alguém consegue me dar um socorro? (l -> 0)
