Dá para fazer esse problema com números complexos. .No da Ibero as distancias 
eram 5,7 e 8.
 
> Date: Wed, 11 May 2011 18:11:02 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Outro problema com Geometria
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Uma versão um pouco mais difícil deste caiu na Primeira Olimpiada
> Iberoamericana de Matemática, em 1985...
> 
> Claro que dá para fazer por muita Geometria Analítica ou muita
> Trigonometria, mas uma solução "bonitinha" (que é a do "Teorema de
> Pompeiu") é a seguinte:
> 
> -- Faça um desenho (claro!), incluindo ABC e P (GIF anexo). Vou supor
> que A-B-C está no sentido anti-horário.
> -- Gire o triângulo APB de 60 graus, no sentido anti-horário, em torno
> de A obtendo o novo triângulo AP'C. Como APP´ é equilátero, temos
> PP'=3.
> -- O triângulo PP'C é 3-4-5, e então retângulo em P'.
> -- Assim, o ângulo AP´C é 150 graus. Use a lei dos cossenos no
> triângulo AP´C, ache o lado de ABC e termine o problema.
> 
> No problema original da OIbM, não era 3-4-5 não, eram outros números
> x, y e z... Então, se você quiser resolver este caso geral, ou não
> quiser usar a lei dos cossenos:
> -- Rodando BPC 60 graus (anti-horário) em torno de B, obtém-se BP''A.
> BPP'' é equilátero y-y-y, então APP'' é x-y-z também.
> -- Rodando CPA 60 graus (anti-horário) em torno de C, obtém-se CP'''B.
> Analogamente, CPP''' é equilátero (z-z-z) e BPP''' é 3-4-5 de novo.
> 
> Mas os três triângulos que giramos formam o triângulo original! Assim,
> sendo S a área pdeida, temos que 2S = soma das áreas dos 3
> equiláteros, mais as áreas dos 3 triangulos x-y-z que achamos! Em
> suma:
> 
> 2S = (x^2+y^2+z^2)raiz(3)/4 + 3.raiz(p(p-x)(p-y)(p-z))
> 
> onde p=(x+y+z)/2. Jogue os valores de x, y e z e termine tudo.
> 
> Abraço,
> Ralph
> 
> 2011/5/11 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>:
> > Primeiramente boa tarde  a todos,
> >
> > Meu professor de matemática me propôs o seguinte problema:
> >
> > Dado um triângulo equilátero de lados A,B,C, um ponto P dentro do triângulo
> > é tal que PA, PB, PC valem 3,4,5 respectivamente .  Calculale a área do
> > triângulo ABC.
> >
> > []'s
> > João
                                          

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