Muito bacana a sua "quase solução". Já me cobro a solução desse problema há anos, mas acabei me esquecendo dele.
Abraços 2011/5/12 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > Boa Tarde a todos, > > Do livro de AC Morgaado, > > ..... Dado um triângulo ABC, seja X, Y, Z pontos em A, B, C > respectivamente, tal que o perímetro de XYZ é mínimo, temos NECESSARIAMENTE > que: > a) X,Y,Z são os pés das bissetrizes de ABC > b) X,Y,Z são os pés das medianas de ABC > c) X,Y,Z são os pés das alturas de ABC > d) XYZ é um triângulo equilátero > e) NRA > > > Minha (quase) resolução: > > Primeiro temos que ter em mente o seguinte teorema: > As altuas de um triângulo são bissetrizes de seu triângulo órtico > Prova: No triângulo ABC, Ha, Hb, Hc os pés das alturas de A,B,C > respectivamente, H seu ortocentro > a = <HHaHc, b = <HHaHb, a' = <HBA, b' = <HCA > > 1) BHaHHc é inscritível, logo a = a' > 2) CHaHHb é inscritível, logo b = b' > 3) a' = b' pois possuem o mesmo complemento A, logo > 4) a = b > > > Analogamente para os outros, segue a prova do teorema. > > Voltando para o problema original, façamos XYZ, temos que se <HXY é > diferente de <HXZ, <XYZ não tem perímetro mínimo, já que a menor distância > entre Y e Z passando por A é o ponto X em que <HXY = <HXZ (lei da > reflexão)** > > Logo se algum ângulo do triângulo XYZ não seguir a afirmação acima, XYZ > não é mínimo, logo temos que <HXY = <HXZ, <HYX = <HYZ, <HZX = <HZY, ou seja, > H é incentro de XYZ. > > Falta a simples prova de que o único triângulo em que H é incentro e cujos > vértices estã nos lados de ABC é o triângulo órtico. > > Alguém pode me ajudar, além disso Aí vai outro problema (para quem se > interessar) > > Em um triângulo de lados a,b,c , calcule o perímetro de seu triângulo > órtico > > []'s > > João >
