Muito obrigada pela aula!! Quanto lhe devo? rss
 
Também gostei muito da prova do Artur
 
As duas provas seguem, na realidadae, a mesma linha, certo?
 
Amanda 
 
> Date: Fri, 27 May 2011 21:51:45 +0200
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função complexa - mostrar que não é possível 
> e^(f(z)) = z
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> 2011/5/27 Merryl M <sc...@hotmail.com>:
> > Boa tarde amigos
> Boa tarde (ou dia, ou noite, sei lá em que fuso vocês vivem),
> 
> Apertem os cintos, afiem o raciocínio, a análise vai começar.
> 
> > Estou me iniciando em análise complexa e estou com dificuldade nisto aqui.
> >
> > Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que e^(f(z)) = z para
> > todo z <> 0.
> Bom eu vou assumir que você quis dizer holomorfa. Porque inteira (ou
> seja, definida em TODOS os números complexos) não pode dar certo. Veja
> só, se f é inteira (enfim, basta holormorfa em 0), ela é definida (ou
> seja, assume algum valor em C) e contínua em 0. Daí, e^(f(z)) também é
> contínua em 0. Isso quer dizer que e^(f(0)) = 0, mas isso a gente já
> sabe que não dá.
> 
> Na verdade, eu vou assumir mais: eu acho que você quis dizer
> "holomorfa em C - {0}".
> 
> > O que eu concluí é que, para todo z não nulo, temos pela regra da cadeia que
> > e^(f(z)) f'(z) = 1 e, portanto, f'(z) = 1/(e^f(z)) = 1/z. Bom, até aí morreu
> > Neves, né? Não fiz nada de interessante. Isto representa uma contradição?
> Ainda não. Mas pode começar por aqui sim.
> 
> >  Na reta real, não é nenhuma contradição, mas como nos complexos temos
> > várias ramificações para o logaritmo, talvez seja por aí.
> É por aí mesmo, enfim, pelo menos a mim parece.
> 
> > Não estou vendo. Podem ajudar?
> Bom, com o que você fez, eu acho que o melhor é olhar para a equação
> diferencial f'(z) = 1/z mesmo. Mas em vez de olhar na reta real (que
> como você mesma disse, não apresenta problemas), vou olhar na direção
> transversa. E essa direção transversa é (de certa forma) um círculo em
> volta da origem. O que vai começar a fazer a ponte para as várias
> definições do logaritmo.
> 
> O círculo é parametrizado por t -> exp(it), ou e^it para abreviar.
> 
> Chame g(t) = f(e^it).
> Vamos lá: f'(e^it) = 1/e^it = e^(-it). Isso deve ajudar a obter uma
> equação diferencial para g.
> g'(t) = (Regra da cadeia) f'(e^it) * i e^it = i.
> 
> Para resolver essa eq. diferencial, temos que achar g(0). Mas e^f(1) =
> 1, logo f(1) = 2ki pi para algum k inteiro. E g(0) = f(1).
> Assim, g(t) = i(2k pi + t).
> 
> Muito bem, né? Parece que tá tudo bem. Mas, na verdade, não. Note que
> g(0) = f(1), mas g(2pi) = f(1) também ! (e g(246747654908 pi), etc,
> etc). Ora, isso quer dizer que 2ki pi = g(0) = f(1) = g(2pi) = 2(k+1)i
> pi. Pára tudo! Absurdo. Assim, não existe uma função definida no
> círculo unitário que satisfaça a equação funcional que você deu. Na
> verdade, não existe função definida em nada que "dê uma volta em torno
> da origem" que satisfaça, mais ou menos pela mesma razão: se você for
> "seguindo a equação diferencial", você vai "seguindo" um ramo do
> logaritmo, mas quando você terminar a sua volta, você vai estar no
> "ramo seguinte", e daí vai ser impossível que a sua função seja
> definida.
> 
> > Análise complexa não aparece muito aqui na lista, mas sei que nosso amigo
> > Bernardo, nosso São Bernardo da matemática conhece muito.
> Obrigado pelo cumprimento, mas eu aproveito para dar umas dicas a mais
> sobre o problema para mostrar que, na verdade, ele não tem muito de
> análise complexa, mas de homotopia. (Mesmo que a homotopia seja
> super-útil em análise complexa, e tenha sido inventada para ajudar a
> entender um monte de fenômenos que apareceram pela primeira vez em
> complexa)
> 
> O problema que você falou (as múltiplas determinações do logaritmo), é
> um problema puramente "topológico". É porque você tem uma função que
> "dá uma volta" na origem e não volta no mesmo lugar, mas "2pi depois".
> Isso é um fenômeno típico de (inversas) de funções periódicas. Sim,
> sim, a exponencial é periódica, mesmo que a primeira vez que a gente
> descobre isso soe um pouco estranho. Aliás, isso "explica" porque o
> seno, cosseno, são periódicas também :). Voltando ao nosso problema,
> você quer construir a função inversa da exponencial. Mas a função é
> periódica, daí não dá. (pense assim, você tem que botar alguma
> restrição também quando você constrói arcsin. Ou a raiz quadrada...).
> A grande sacada dos analistas (hoje a gente os chamaria de
> "topólogos", mas na época era "Analisis situs", como escrevia o
> Poincaré) foi ver que esses problemas de periodicidade têm
> contrapartidas que dependem unicamente da estrutura do seu "espaço
> topológico" (o que eles chamaram de "1-conexidade"), e portanto, a
> verdadeira restrição à sua questão não é "f uma função holomorfa em C
> - {0}", mas sim "f contínua num domínio que dê uma volta em torno da
> origem" (a tradução da parte de "1-conexo" para o problema particular
> da exponencial). Talvez (talvez) exista uma demonstração mais rápida
> de que seja impossível usando o fato de f ser holomorfa. A
> demonstração que eu dei, basta que f seja diferenciável (o que não é
> grandes coisas mais geral: sendo diferenciável, derivando a equação
> funcional como você fez prova que f é holomorfa) num caminho
> diferenciável também.
> 
> Final da história (do século XIX): esse problema de "extensão de
> funções analíticas" obrigou os analistas a desenvolverem a topologia e
> a geometria diferencial, gerando o que se chama hoje em dia de
> "Superfícies de Riemann", objetos bem adaptados para você poder
> estudar corretamente essas inversas. Assim, você tem uma espiral
> infinita (sem o 0) que serve para você estudar o logaritmo, e assim,
> quando você dá uma volta, você pode continuar "2pi i pra frente", e o
> logaritmo está bem definido em todos os pontos, porque a "altura na
> espiral" diz a que "altura" no eixo imaginário você está. Essas
> superfícies foram generalizadas para as "variedades diferenciáveis", e
> também foram o ponto de partida para Poincaré definir a homologia...
> mas eu estou entrando no século XX, e é melhor parar por aqui.
> 
> Dicas de leitura finais: eu recomendo bastante conhecer a teoria dos
> espaços (e aplicações) de recobrimento, que vai falar sobre homotopia,
> e problemas de você construir funções contínuas de um conjunto em
> outro. A exponencial é o primeiro exemplo da teoria, e muitas coisas
> muito bonitas decorrem de um estudo destas aplicações, uma delas de
> análise complexa (para não fugir ao tema) é o teorema de Picard:
> 
> Se f é uma função inteira (holomorfa e definida em C, ou seja, uma
> série de potências convergente em todos os pontos de C) e que 0 e 1
> não estão na imagem de f, então f é constante. A demonstração original
> desse teorema (por Picard) usa um monte de coisas bonitas de análise
> complexa (a função modular em particular) para provar que o disco
> unitário do plano é um recobrimento (holomorfo) de C - {0,1} e que
> portanto a sua função f pode ser "fatorada" passando primeiro pelo
> disco e depois sendo enviada em C - {0,1}. Mas uma função inteira cuja
> imagem está contida no disco unitário é limitada (claro!) e por
> Liouville, constante.
> 
> > Obrigada
> > Amanda
> 
> Bons estudos,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
                                          

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